Теория вероятностей для астрономов и физиков - Агекян Т.А.
Скачать (прямая ссылка):
0 < P (Л) < 1. (1.18)
Если событие В содержит в себе событие А, то это означает, что события, являющиеся благоприятными для А, благоприятны и для В, но не все события, благоприятные для В, являются благоприятными для А, иначе события А и В были бы равносильными. Следовательно, если
А С В,
то
P (А) < P (В).
Задача 1. В изданном в 1781 г. каталоге Мессье, содержащем наблюдаемые на небе 108 ярких туманных § 5] КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ 15
объекта, имеете» ЗУ галактик, 29 рассеянных скоплении, 29 шаровых скоплений, G диффузных туманностей и 5 планетарных туманностей. Определить вероятность того, что из двух наугад выбранных в каталоге объектов а) каждый окажется галактикой, б) один окажется рассеянным, а другой шаровым скоплением.
Решение. Выбор любой пары объектов из каталога следует считать одним из равновозможных событий. Общее число равновозможных событий равно числу сочетаний из 108 объектов по 2, т. е. Cfog* В задаче а) число благоприятных событий равно Cl». Искомая вероятность
P = CtJC2m ^ 0,128.
В задаче б) число благоприятных событий равно числу рассеянных скоплений, помноженному на число шаровых скоплений 29 X 29. Искомая вероятность
P = 292/С?ов S 0,146.
Задача 2. Найти вероятность того, что при случайном выборе четырех букв из слова «математика» будут получены буквы, из которых можно составить слово «тема».
Решение. Общее число равновозможных событий равно числу сочетаний из 10 букв, составляющих слово «математика», по 4, а число благоприятных событий равно 2x1 X 2 X 3 = 12, так как буква V может быть выбрана двумя способами, буква V — одним, буква 'м' — двумя и буква 'а' — тремя способами. Искомая вероятность
Р-І 2/^0 = 4-
З а д а ч а 3. Найти вероятность того, что при извлечении из колоды п игральных карт (в колоде 52 карты) все они окажутся равных значений.
Решение. При п >¦ 13 рассматриваемое событие является невозможным, так как в колоде различных значений карт всего 13. Следовательно, при п >> 13 вероятность события равна нулю.
Найдем/* при п13. Число всех равновозможных случаев равно Cj2« Для нахождения числа благоприятных 16
СЛУЧАЙНОЕ СОБЫТИЕ
trji. 1
событий заметим, что если бы извлеченные карты были одной и той же масти, то все они были бы различных значений. Число различных сочетаний п карт одной определенной масти равно Ci3. Однако каждый раз, как будет получено некоторое сочетание карт одной масти, можно путем замены каждой карты на карту того же значения, но другой масти, получить еще одно сочетание тех же значений карт. Произведя все возможные такие замены для каждого сочетания из карт одной масти, получим все благоприятные события. Из этого следует, что число благоприятных событий равно Ci3-An. Таким обра-80М, при п ^ 13 искомая вероятность
Задача 4. Найти вероятность того, что при случайном распределении к частиц в п ячейках (к <.п): а) в к определенных ячейках окажется по одной частице, б) в А; каких-то ячейках окажется по одной частице. Задачу решить в статистиках: 1) Больцмана, 2) Бозе — Эйнштейна, 3) Линден-Белла и 4) Ферми — Дирака. В статистике Больцмана, которой подчиняется обычный газ, частицы принципиально различны между собой, гак что перестановка двух частиц, находящихся в разных ячейках, дает новое распределение. Число же частиц в одной ячейке не ограничено. В статистике Бозе — Эйнштейна которой подчиняется, например, фотонный газ, частицы принципиально не различимы. Перестановка двух частиц, находящихся в разных ячейках, не дает нового распределения. Число частиц в одной ячейке не ограничено. В статистике Линден-Белла, которой подчиняются элементарные объемы фазового пространства звездных систем, частицы принципиально различимы, но в каждой ячейке может находиться не более одной частицы. В статистике Ферми — Дирака, которой подчиняется, например, электронный газ, частицы принципиально не различимы и в каждой ячейке может находиться не более одной частицы.
Решение. 1) В статистике Больцмана общее число всех равновозможных событий равно пк, так как каждая частица может расположиться в каждой из п ячеек при любом расположении других частиц. § 5] КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ
17
а) Число благоприятных событий расположения к частиц в к определенных ячейках равно числу перестановок частиц в этих ячейках — ft!. Таким образом, искомая вероятность
P = Ar. (1.19)
п
б) Число благоприятных событий расположения к частиц в каких-то к ячейках равно числу различных сочетаний к ячеек из общего числа п, помноженному на число перестановок к частиц. Таким образом, искомая вероятность
Спк! и'
P = -^r- =-^—г. (1.20)
и* (и —ft) In" v '
2) В статистике Бозе — Эйнштейна для нахождения числа всех равновозможных событий выстроим все ячейки в ряд. Границы ячеек определяются перегородками. Число всех перегородок, очевидно, равно п + 1. Частица считается находящейся в ячейке, если она оказалась
I
Рис. 1.
между перегородками ячейки (рис. 1). Если при некотором данном распределении частиц в ячейках поменять между собой местами любые две или несколько частиц, то ввиду принципиальной неразличимости частиц в статистике Бозе — Эйнштейна нового распределения не получится. Точно так же не будет получено новых распределений, если поменять между собой местами перегородки. Однако каждый раз, как поменяются местами частица и перегородка (две крайние перегородки закреплены и перемещаться не должны), будет получаться новое распределение. Поэтому число всех равновозможных распределений равно
