Теория вероятностей для астрономов и физиков - Агекян Т.А.
Скачать (прямая ссылка):
/(*) = 2-^-0(* - « -7Г - Xi) (4.6)
і > 176 ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ІГЛ. 4
есть плотность вероятности. Функцию
X (х) = то/ (х) = 2 (х — xi) (4.7)
і
можно рассматривать как дифференциальный закон распределения аргумента с полной массой то. Величина
ь
5 и {х) dx (4.8)
а
дает число членов коллектива, аргумент которых заключен между а и Ь.
Статистический коллектив характеризуется моментами распределения. В частности,
хо—= 2 m^ (4-9)
і і
является средним значением аргумента статистического коллектива, а
Зо= хоУ = 2 % (^i - Zo)2 (4.10)
і і
есть дисперсия аргумента. Часто их называют также средним и дисперсией статистического коллектива. Равенства (4.9) и (4.10) показывают, что если каждому члену статистического коллектива (а не каждому значению аргумента) присваивать свой номер, так что все Toj = I, то эти равенства должны быть записаны в виде
т
^0 = -^2^. (4.11)
i=l m
3O = -^r 2(*i-*o)2. (4.12)
i=i
При такой записи среди значений Xi могут быть и повторяющиеся.
Статистический коллектив может иметь и бесконечно большой объем. Такой статистический коллектив счита-
s 49] СТАТИСТИЧЕСКИЕ КОЛЛЕКТИВЫ
177
ется заданным, если заданы функции распределения аргумента — плотность вероятности или интегральный закон распределения. Рассмотрим, например, статистический коллектив — множество всех прямых, различным образом ориентированных в пространстве, в котором аргументом является угол между прямой и некоторой фиксированной плоскостью. Объем этого статистического коллектива бесконечен и даже несчетен. Аргумент в нем
Задать распределение аргумента в нем можно через плотность вероятности. Выше мы показали, что если у рассматриваемых прямых все ориентации равновероятны, то
(4.13) имеет смысл доли членов коллектива, аргумент которых заключен между а и а + da.
Бели полностью определены все условия выполнения измерения некоторой величины — инструмент, лицо, производящее измерения, обстановка, то тем самым можно считать, что образовался статистический коллектив бесконечного объема, аргументом которого является результат производимого измерения. Как отмечалось выше, плотность вероятности аргумента будет нормальной функцией (3.119) с математическим ожиданием, равным истинному значению измеряемой величины, и стандартом, равным средней квдратической ошибке измерения. Мы будем говорить, что в таких статистических коллективах аргумент распределен непрерывно.
Статистический коллектив можно описывать также следующим способом. Допустим, что все значения, принимаемые аргументом статистического коллектива, заключены в промежутке [а, Ь]. Разобьем этот промежуток на к равных частей, выбрав к так, чтобы в каждую часть попало достаточно много значений аргумента. Положим
может принимать любые значения в промежутке
/ (a)da = cos a da.
(4.13)
Бели Дя мало, то / (х)кх приближенно (тем точнее, чем меньше Ах) равно вероятности попадания случайной 178 ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ іГЛ. 4
величины в промежуток
[* ¦- -Y Ах, X+ -J- Ах] . (4.14)
Когда Ax конечно, приближение в общем случае будет лучшим, когда х совпадает с серединой промежутка. В таком случае плотность вероятности определяется из приближенного равенства
/(X)AX = -^, (4.15)
где Wii — частота значений агрумента в данном интервале.
Положив в равенстве (4.15) Ax = 1, мы видим, что плотность вероятности / (х) приближенно равна вероятности того, что случайная величина примет значение в интервале
[х--L, Л + 4-]. (4-16)
Для примера рассмотрим статистический коллектив звезд в окрестности Солнца, если аргументом служит абсолютная величина звезды М. Так как абсолютная величина звезды однозначно определяет ее светимость, то функцию распределения абсолютных величин звезд кратко называют функцией светимости.
Из многих определений функции светимости приведем те, которые были получены П. П. Паренаго (табл. 4) и В. Ж. Лейтеном (табл. 5).
Таблица 4
Функция светимости Паренаго
M т) HM) M КМ)
-6 0,00000013 + 4 0,017 +13 0,107
-5 0,00000126 + 5 0,024 +14 0,118
—4 0,0000048 + 6 0,033 +15 0,018
—3 0,000019 + 7 0,036 +16 0,102
—2 0,000060 + 8 0,031 +17 0,079
-1 0,000126 + 9 0,033 +18 0,049
+0 0,00051 +10 0,047 +19 0,020
+1 0,0023 +11 0,069 +20 0,0041
+2 0,0063 +12 0,100 +21 0,0008
+3 0,0078 s 49] статистические коллективы 179
Таблица 5 Функция светимости Лейтена
м
-0,5 +0,5 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5 7,5
/(Al)-IOO Af
0,009 0,094 0,23 0,58 0,86 1,26 1,7 2,3 2,9
8,5 9,5 10,5 11,5 12,5 13,5 14,5 15,5 16,5
/(Al)-IOO
3,6 4,4 5,4 6.3
7.6
9.7 12,1 14,4 10,8
Al
17,5 18,5 19,5 20,5 21,5 22,5 23,5 24,5
/(M).100
6,7 4,1
2.3
1.4 0,7 0,4 0,05 0,005
Как отмечалось выше, в таблицах4и5 плотность вероятности / (M) приближенно равна доле звезд с абсолютной
величиной, заключенной в промежутке jM — у, M + j.
Допустим, что табл. 4 и 5 дают истинное распределение по абсолютным величинам в двух каких-то статистических коллективах звезд. (На самом деле они являются двумя приближенными распределениями абсолютных величин звезд в окрестности Солнца.) Тогда имеется возможность при помощи моментов выполнить сравнения этих двух статистических коллективов. Нужно вычислить средние (M0), стандарты (<х0), асимметрии (As) и эксцессы (Ех).
