Лекции по теории переноса лучистой энергии - Адзерихо К.С.
Скачать (прямая ссылка):
Av J
(Av)
физических условий формулами (1.30) — (1.35). Интвг-ральное (или полное) поглощение отдельной спектральной линией равно
OO OO
W (Z0) = J Л, dv = j (I - e-*v *•) dv. (6.7)
Полное поглощение (6.7) часто называют кривой роста, или эквивалентной шириной линии. Обозначая расстояние между линиями через d, можно найти среднее поглощение отдельной линией:
OO
A = -j j(l-<r*vz«)dv. (6.8)
-OO
Введем безразмерные параметры:
, = ^ (6.9)
а а
Тогда величину А для лоренцевской линии можно*запи-сать в виде
7 -W.
At = J (I—е x‘+y»)dx = 2nyL(u). (6.10)
Здесь L (и) — так называемая функция Ладенбурга—Райхе, равная
L(u) = ue~u[I0(u) + Z1(U)], (6.11)
I0 (и) и I1 (и) — функция Бесселя первого рода от мнимого аргумента нулевого и первого порядка соответственно. Достаточно подробные значения функции L (и) приведены в монографии [10]. Асимптотическими разложениями этой функции являются следующие выражения:
OO
(2n — 1)2(2я — З)2... 5а- З*• Iа 1
пі
(8 и)п
В первом случае можно положить L(u) = u и тогда, согласно (6.10), излучательная способность
Аналогичное выражение можно получить из (6.8) при малых значениях величины kvz0 (kvz0 1):
Таким образом, в случае малости оптической толщины среднее поглощение (или испускание) прямо пропорционально ей. Поэтому закон (6.12) называется линейным. Линейность закона обеспечивается малостью оптической толщины при любых значениях частоты. Вот почему случай ц<§С1 иногда называют приближением слабой линии.
При ы^>1 (приближение сильной линии)
К этому же результату мы приходим, полагая в (6.10) У<^.х, т. е. пренебрегая полушириной спектральной линии. Подобное пренебрежение физически оправдано, так как это приводит к сильному увеличению коэффициента поглощения в центре линии, а в этой области он настолько велик, что дальнейшее его увеличение почти не сказывается на величине среднего поглощения.
Закон (6.13) известен также как закон квадратного
d
(6.12)
OO
OO
----OO
-OO
OO
так как по определению
-----OO
Al. = 2у~\Ґ2пи .
(6.13)
корня. Функция log -, изображенная на рис. 12, no-
il
138
Рис. 12. Графическое представ- l°9L(“)M лепие функции Ладеибурга —
Райхе:
/—линейный закон; 2—згкон квад- -0,2 -ратного корня
-1,0 -0,5 0 0,5 1,0 Iogu
казывает, что переход от линейного закона к закону квад-ратного корня осуществляется достаточно быстро и уже практически при и>3 можно использовать соотношение
(6.13). Таким образом, получено явное подтверждение несправедливости закона Бугера даже для одной изолированной линии.
Для допплеровского контура спектральной линии среднее поглощение (или среднее испускание) определяется следующим выражением:
ре линии. Если подынтегральную экспоненту разложить в ряд по степеням и, то для средней излучательной способности получается медленно сходящийся ряд [10]:
OO
(6.14)
—CO
V
где X — — ,at» =
Y D
оптическая толщина в цент-
Yd\' л
В приближении слабой линии (и 1) получаем
A0 = Vnv^-= Z0, а а
(6.12а)
т. е. уже рассмотренный линейный закон. При V > 1 для Ad можно найти [10]:
139
Рис. 13. Среднее поглощение комбинированного контура спектральной линии (a=Yx./Y?>):
/—а —0 (допплеровский контур); 2—0,001; 3—0,01; 4—0,1; 5—1; в—!0; 7—!ОС;
8-а •* » (лоренцевский контур)
Ad = [(In V)^ + 0,2886 (In -
___3_ __Б_
- —0,1335 (In и) 2 +0,0070(1пи) 2—...]. (6.13а)
Закон (6.13а) определяет гораздо более медленное увеличение Ad с ростом оптической толщины, чем для лорен-цевского контура линии. Это связано с очень сильным уменьшением величины коэффициента поглощения при допплеровском уширении для частот вдали от центра линии. Если ограничиться первым членом в (6.13а):
Ad = 2^- (In v)^ ,
то среднее поглощение (или среднее испускание) допплеровской линии можно отождествить с поглощением (испусканием) прямоугольного контура спектральной линии с полушириной, равной
Vn= VD.(lnu)2 .
Для комбинированного контура спектральной линии, описываемого выражением типа (2.20), средняя излуча-
140
тельная способность рассчитывается только численво. На рис. 13 приведена зависимость среднего поглощения (или среднего испускания) для лоренц-допплеровского койту*
дует отметить, что если в областях, близких к центру, решающая роль принадлежит допплеровскому ушире-нию, то вдали от центра средняя поглощательная (излу-чательная) способность определяется только лоренцев-скими крыльями линии, что соответствует на рис. 13 появлению семейства параллельных кривых с тангенсом угла наклона, равным 1/2 (кривая с тангенсом угла наклона, равным 1, соответствует случаю слабой лоренцев-ской линии).
§ 3. Закономерности поглощения (испускания) для моделей Эльзассера и Гуди
За модель Эльзассера принимается бесконечный набор равноудаленных друг от друга спектральных линий одинаковой интенсивности. Коэффициент поглощения в случае лоренцевского контура спектральных линий можно записать в виде
Используя обозначения (6.9), вместо (6.15) можно записать:
