Методы квантовой теории поля в статической физике - Абрикосов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Графики, выражающие Г (р, р — q, q) через Г<°) (р, p—q, q), приведены на рис. 80, а. Квадратиком на этом рисунке от-§ 26] СВОЙСТВА СПЕКТРА ВБЛИЗИ ТОЧКИ ОКОНЧАНИЯ 309
мечена полная неприводимая вершинная часть для рассеяния двух надконденсатных частиц друг на друге Г (pv р2, р3, р4). Суммирование этих диаграмм осуществляется простым уравнением, приведенным на рис. 80, б. Это есть совокупность всех тех четырехчастичных графиков, которые не могут быть
а)—щ( - _< + —<Г~У\ + -<ГЖТІХ/ + "
/- \ /-ГІ?---ftriT--' -\
Рис. 80.
разделены между концами pv р2 и р3, р4 на две части, соединенные лишь одной или двумя линиями. Опуская, далее, всюду индекс у G1, напишем уравнения в аналитическом виде:
G1 (P) - Oi0r'(P) = Г(0) (P. P-Я. Я) О (?) X
X G (р - q) Г (р, р q, q) d% (26.6)
Г (p. p-q, q) = Г(°) (p, p-q, / Г (p, р-k, k)X
X о (k) G (p — k) Г (k, p — k; p — q, q)d*k. (26.7)
Свойства уравнений (26.6) и (26.7) вблизи порогов всех трех типов, указанных в начале этого параграфа, совершенно различны, и мы должны рассмотреть все эти случаи отдельно.
3. Свойства спектра вблизи порога рождения фонона. Рассмотрим свойства спектра возбуждений вблизи точки, где скорость возбуждений делается равной скорости звука. Начиная с этой точки возбуждение может рождать фонон. Законы сохранения (26.1) в этом случае принимают вид
є(/>) = є(/>-0+ш(0, (26.1')
где 0)(0 — частота фонона, q — его волновой вектор. При малых q частота ш(0 имеет вид
4>(q) = c\q\— а|?|3. (26.8)
Мы будем считать, что а > 0, т. е. фононный спектр является устойчивым, однако ниже члены третьего порядка в нам не понадобятся. Функция в(р) имеет особенность при310 СИСТЕМА ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ БОЗЕ-ЧАСТИЦ [ГЛ. V
|/»| = рс. Мы предположим (это будет подтверждено окончательным результатом), что особенность сказывается в членах более высокого порядка малости, чем второй по степеням Др=|р|-рс, т. е. что вблизи Pc
s(p)~sc + CAp + ?(Ap)2. (26.9)
(По предположению скорость возбуждения v = dj^j при Ipj=JOc равна скорости звука.)
При \р\ = рс и cos6=l (6—угол между q и р) правая часть (26.1') с учетом (26.8) и (26.9) имеет вид:
ec + ?kl2. (26.10)
Точка \р\=рс действительно является порогом лишь при условии, что выражение (26.10) имеет при q = Q минимум, для чего необходимо, чтобы выполнялось условие
?>0.
Поскольку при |р| = Pc в рассматриваемом случае возбуждение может родить фонон с q, сколь угодно близким к нулю, для нахождения особенности в интеграле (26.6) будет существенна область малых значений аргумента одной из гриновских функций, например G (q). При малых ю и q гриновская функция равна (24.19)
G(?) = -a-ч і - (26.11)
> ш2 — ^2 (Qf) -(- 4 '
и пропорциональна функции распространения фонона. (Пользоваться для функции 0(g) представлением (26.4) нельзя, поскольку при малых q оба полюса почти совпадают.)
Вблизи |р I = рс и s = se функция Грина имеет особенность. Мы, однако, предположим, что, в соответствии с (26.9), G'1 (р) вблизи нуля (т. е. вблизи полюса G (р)) имеет вид
О-1 (р) = Л-1 [As — с!\р — ?(Ap)2 +Й] (26.12) (Др=|р|— рс, As = ш — єс).
Члены более высокого порядка в 0'1(р), содержащие особенность, мы и должны определить.§ 26] СВОЙСТВА СПЕКТРА ВБЛИЗИ ТОЧКИ ОКОНЧАНИЯ
311
Рассмотрим свойства вершинной части Г (р, р — q, q). При малых q эта вершина представляет процесс, в котором частица с импульсом р испускает длинноволновое возбуждение или фонон. Такая вершина обязательно должна быть пропорциональна величине импульса \q\ испущенного фонона, поскольку с макроскопической точки зрения этот процесс представляет собой рассеяние возбуждения на колебаниях плотности (звук). В пределе бесконечно больших длин звуковых колебаний такое взаимодействие должно обращаться в нуль, поскольку в однородной среде возбуждение не рассеивается. Мы будем поэтому в области малых | q | пользоваться для Г (р, р — q, q) выражением:
Рассмотрим теперь интеграл в правой части уравнения (26.6). Этот интеграл в каждом порядке по Г, согласно определению Г и Г0 (рис. 80), представляет собой цепочку, состоящую из петель, соединенных , между собой четырехчастич- -v/——' ной вершинной функцией —I — (рис. 81). Каждая из этих \ петель дает вклад в осо- рис gj бенность гриновской функции, причем, поскольку мы предположили, что нерегулярные члены малы, вклад от каждой петли надо учитывать только один раз.
Зафиксируем некоторую петлю, тогда совокупности графиков справа и слева от нее суммируются независимо и, согласно определению точной трехвершинной функции Г(р, р — q, q), образуют в обеих вершинах рассматриваемой петли трехча-стичную функцию Г(р, р — q, q). Таким образом, малый нерегулярный добавок к обратной функции Грина G~l (р) может быть найден из рассмотрения нерегулярной части выражения
Рассмотрим в этом выражении область малых q и подставим сюда значения (26.11) — (26.13) для Г (р, р — q, q), G (q) и G(p — q). Получим:
Г(р, p—q, q)=g\q\-
(26.13)
/ Г2 СP- P — q. 4)0 (q) Q {p — q) dAq.
(о/2 — c2q2 + ib) (о/ — to + ? (p — q) — ib) '