Электронный парамагнитный резонанс. Переходных ионов. Том 2 - Абрагам А.
Скачать (прямая ссылка):
часть iii. теоретический обзор
Непосредственно из определения операторов 0 и Dt вытекает соотношение
Я*(Єф) = ЄЯ-*(ф). (15.2)
Оно фактически равносильно утверждению, что два состояния системы, в которых в момент времени / = 0 скорости противоположны, сохраняют противоположные скорости и в противоположные моменты времени.
Поскольку обращение времени, как мы будем продолжать называть это преобразование, является оператором симметрии, то из общих принципов квантовой механики вытекает, что оно не может изменить вероятности перехода между двумя состояниями xF и Ф, так что имеет место равенство
I(XFtO)I = I(GxFIGO)I. (15.3)
Можно показать (см. «Теорию групп» Вигнера, гл. 26), что еслії по физическому смыслу оператора G должно выполняться соотношение (15.3), то всегда можно переопределить фазы всех волновых функций так, что G оказывается либо линейным унитарным оператором, либо антилинейным антиунитарным оператором.
Напомним здесь для удобства, что линейный унитарный оператор А обладает следующим свойством:
A(CW) = C(AW)f (15.4)
тогда как для антилинейного оператора имеем
A(CW) = C (AW). (15.5)
Антилинейный оператор, удовлетворяющий соотношению (15.3), кроме того, называют антиунитарным. В случае выполнения равенства (15.4) выполняются соотношения
0 (C1W1 + C2W2) = C1OxF1 + C2QW2i
(OxF 10Ф) = (xF IФ). (15'6)
Если же имеет место второй случай, определяемый равенством (15.5), то
0 (CixFi + C2W2) = C1QW1 + C2VF2,
(OxF 10Ф) = (xF IФ)* = (Ф IW). ( ' ]
Чтобы установить, к какой категории операторов принадлежит 0, рассмотрим соотношение (15.2), в котором разложим функцию ф по стационарным состояниям гамильтониана Ж: ф = 2 akWk- Если бы оператор 0 был линейным и выполнялись соотношения (15.6), то левая часть (15.2) записалась быввиде
2 Ctk ехр (— iWkt/h) (0q>ft), тогда как правая часть оказалась бы * гл. 15. обращение времени и крамерсово вырождение .
75
равной 2 ak exp (+ iWkt/h) (0ф^), что приводит к противоречию. k
С другой стороны, если 0 — антилинейный оператор, то обе части равенства (15.2) сводятся к ^ak ехр(—iWkt/fi)(Qyk). Таким образом, оператор обращения времени должен быть антилинейным и антиунитарным. Следует соблюдать известную осторожность при обращении с антилинейными операторами. В частности, обычное обозначение (Ф | Л | xF) матричного элемента оператора А между состояниями Ф и xF в случае антилинейного оператора оказывается двусмысленным. Вместо этого мы будем писать (ЛФ, xF) или (Ф, ^xF) в зависимости от обстоятельств.
§ 2. Комплексное сопряжение
Одним из простейших антилинейных операторов является оператор, преобразующий волновую функцию xF в комплексно сопряженную ей xF*. Обозначим этот оператор через Ко, а выражение «волновая функция» мы используем здесь в довольно общем смысле. Например, когда речь идет об угловом моменте, то если состояние Ц) разлагается в следующий ряд по векторам состояния:
U> = 2 С,. м\ /, М>, (15.8)
/, м
волновой функцией состояния Ц) мы называем набор чисел CjtM- Волновой функцией вектора состояния /CoU) служит тогда набор чисел Cj м> так что
Ко \1) = 2 САМІ/, М). (15.9)
/, м
Ясно, что Ко является антиунитарным оператором, поскольку
(№/СоФ) = ^, ФГ = (Ф, П
он удовлетворяет также очевидному соотношению
Ko = 1. (15.10)
Оператор Ko1AKo1 комплексно сопряженный с оператором А, по определению является оператором, матричные элементы которого комплексно сопряжены с матричными элементами оператора А. Очевидно, что определение Ко зависит от базисных состояний, выбранных для определения представления. Например, в координатном представлении комплексно сопряженным с оператором
т 1 д д \ 76
часть iii. теоретический обзор
является оператор —Lz, тогда как в |L,Ml)-представлении — оператор +Lz. В координатном представлении оператор рх = = (Ь/і) (д/дх) меняет знак при сопряжении, а в импульсном представлении, где он диагонален, не меняет. Мы не можем поэтому отождествить оператор 0 с Ко во всех представлениях, поскольку оператор 0 не должен зависеть от выбора представления, тогда как оператор Ко явно зависит от этого выбора. Однако операторы 0 и Ко связаны между собой, и эта связь устанавливается путем введения оператора U = вКо или, поскольку Ко = 1, 0 = UKo-
Легко можно показать, что оператор U = QKo унитарен; поскольку операторы 0 и Ко оба антилинейны, то оператор U = QKo линеен, а так как и 0, и Ко оставляют неизменной абсолютную величину скалярного произведения I(OjxF)I, то это верно и для U. Следовательно, оператор U унитарен. Можно показать также, что 02 = ±1. Двукратное применение оператора 0 оставляет систему в исходном положении, так что
02 = UKoUKo = UKo'UKo =UU* = C- 1, (15.11)
где с — число, по модулю равное единице, а 1 —единичный оператор. Согласно соотношению (15.11), находим, что
U = cU*~\ или, поскольку UnU* унитарны,
U = C(Uy = Cl);
транспонируя это равенство, получаем
U = CUi
откуда
U = C2U и C2=Ii с=± 1.
Таким образом, для квадрата оператора обращения времени получаем равенство
