Электронный парамагнитный резонанс. Переходных ионов. Том 2 - Абрагам А.
Скачать (прямая ссылка):
Свойства двойной тетрагональной группы получаются так же, как и в случае кубической группы. Она имеет 16 элементов, вдвое больше числа элементов простой группы, но классов у нее больше только на два, R и RCikf поскольку классы RC2i RC2 и RC2 совпадают с классами C2, C2 и C2 в соответствии с теоремой гл. 14, § 4. Существуют два двузначных представления ТІ и Tt7f размерности которых /6 и I7 подчиняются соотношению
/6 + /7=16-8 = 8,
откуда I6 = I7 = 2, т. е. оба представления Гб и Г* двумерны. Мы не приводим таблицы их характеров и довольствуемся указанием, что разложение двузначных представлений группы O+ по представлениям двойной тетрагональной группы имеет вид
T6 = Tl T7 = Tt79 T8 = Tt8+Tt7. (14.18)
Ромбическая группа, или D2f содержит, помимо единичного оператора, только три поворота на я вокруг трех взаимно пер- гл. 14. кубическая и некоторые другие группы
69
пендикулярных осей Xi у, г. Поэтому имеются четыре класса и четыре одномерных представления. * При целом значении J в ромбическом поле не остается вырожденных уровней.
Двойная группа имеет восемь элементов и пять классов, причем R является единственным дополнительным классом. У группы есть одно двузначное представление размерности два. Муль-типлет J свободного иона с полуцелым J расщепляется поэтому на / + 1І2 дублетов.
Тригональная группа, или D3, является группой симметрии куба, искаженного вдоль пространственной диагонали. Она имеет следующие элементы и классы:
E1 единичный элемент,
C3, повороты на углы ±2я/3 вокруг оси третьего порядка Oz (2 ,элемента),
C2, повороты на угол я вокруг трех осей, перпендикулярных Oz (3 элемента). Всего имеется 3 класса и 6 элементов, что указывает на наличие дв>х одномерных представлений, которые мы обозначим через Г[ и Tl9 и одного двумерного представления Гз. Характеры приведены в табл. И в конце книги. Разложения представлений Dj по тригональной группе указаны в табл. 12.
Представления кубической и тригональной групп связаны следующим образом:
г,-г[, Г2-Г2г, r3->rL Г4->Г2Г + ГЗГ, г5-*г[+ Гз.
Следует отметить, что вырождение кубического дублета Г3 не снимается тригональным .искажением, в то время как тетрагональное искажение снимает это вырождение.
Двойная тригональная группа имеет 12 элементов и 6 классов. (Классы C2 и RCf2 не совпадают, поскольку нет осей второго порядка, перпендикулярных осям C2.) Мы сразу находим, что существуют два одномерных двузначных представления Г[, Г5 и одно двумерное Гб. Характеры их приведены в табл. 13. Разложения Dj по тригональной группе при полуцелых J приведены в табл. 14.
Поскольку представления Г4 и Г5 одномерны, то можно было бы подумать, что разложения при полуцелых J могут содержать синглеты. Мы увидим вскоре (гл. 15, § 4), что существует очень общая теорема, доказанная Крамерсом, которая утверждает, что этого не может быть никогда. Поэтому два представления Г4 и Г5 (комплексно сопряженных друг другу) должны всегда соответствовать одной и той же энергии системы. 70
часть iii. теоретический обзор
Разложение двузначных представлений группы O+ на неприводимые представления тригональной группы имеет вид
Г6 = Г?, _ T7 = Гбг, Г8 = Г4Г + Г5Г + ГІ (14.19)
§ 6. Несобственные вращения
До сих пор мы рассматривали только группы симметрии, содержащие чистые вращения. В природе встречается и другой тип элементов симметрии — несобственные вращения. Несобственное вращение получается путем комбинирования вращения с инверсией относительно центра, расположенного на оси вращения. Например, отражещіе в плоскости представляет собой произведение вращения на^ угол я и инверсии. В обычном пространстве инверсия соответствует изменению знаков трех пространственных координат, и поэтому несобственное вращение описывается вещественной ортогональной матрицей с определителем, равным —1. Отсюда вытекает, что произведение двух несобственных вращений является собственным вращением, а произведение собственного и несобственного вращений является несобственным вращением. Таким образом, группа Gii содержащая хотя бы одно несобственное вращение, должна содержать столько же собственных, сколько и несобственных вращений и может быть представлена в виде комбинации подгруппы Gp собственных вращений и совокупности несобственных вращений вида giGp, где gi — некоторое несобственное вращение. Запишем это символически в виде
Gi = Gp + giGp. (14.20)
Для краткости будем называть группу типа (14.20) группой несобственных вращений, хотя она, естественно, включает также и собственные вращения. Конечная группа несобственных вращений может как содержать в себе, так и не содержать саму операцию инверсии. Если инверсия / содержится в группе, то мы можем использовать ее в качестве несобственного вращения gi в формуле (14.20) и записать равенство
Gi = Gp +IGp. (14.21)
Поскольку инверсия I коммутирует со всеми элементами группы Gi и квадрат ее /2 равен единичному оператору, матрица, соответствующая I в неприводимом представлении группы Gu може-т быть либо единичной матрицей в случае так называемых четных представлений, либо противоположной ей по знаку в случае нечетных представлении. гл. 14. кубическая и некоторые другие группы
