Эргодические проблемы классической механики - Арнольд В.И.
ISBN 5-89806-018-9
Скачать (прямая ссылка):
1) Существование pi-
Существование р^ вместе с неравенством < С57 следует из неравенств
\d,u),\ < Oo1IdPl-, - Ч < М6~",
(см. раздел Е) и неравенства MS~V < Cej (которое получается из неравенства MS~V < (5"2-" < Cq7 при достаточно большом и2).
Принимая во внимание, что 71 < С47, заключаем, что область \Р ~ Pi I <7i содержится в области \р — р*\ <7 -S (так как S < Cij).
2) Оценка для функции В і-
Из раздела E следует, что среднее функции В' удовлетворяет неравенству Iв'I < M2s~v = м.
Подставляя M в соотношение (П34.28) основной леммы, получаем:
M2S-1/1 + M < M2S-"*.
UJl
P
< MS-" 260
Глава 34
Н. Доказательство теоремы 21.11 (см. гл. 4) Построение П34.36
Инвариантный тор Т(ш*) отображения BA, соответствующего частоте о;*, мы строим с помощью метода, изложенного в предыдущем разделе, и зависящего от последовательности 0 < JV1 < N2 <... < Ns < ..., Ns —У оо. Эту последовательность мы уточним в дальнейшем.
После того, как последовательность Ns выбрана, построение производится следующим образом. Мы полагаем Aj =A, Bj = В, JV1 = N и используем индуктивное построение из предыдущего раздела G. Эта конструкция определяет канонические отображения, которые мы обозначим C1, A2, B2; имеем:
B2A2 = C1(B1A1)C^1.
A1 B1
Рис. П34.37
Используя ту же конструкцию с A2 = A, B2 = В, N2 = N, мы получаем А3В3С2 и т.д. Если As, Bs построены, конструкция, изложенная в разделе G, с А = As, В = Bs, N = Ns позволяет найти Cs, As+1, Bs+1 (см. рис. П34.37):
BS+1AS+1 = Cs(BsAs)Cs 1.
Эта конструкция определяет также точки р*. us(p*s) = из*. Обозначим теперь через Ts(u!*) тор р = р*. На таком торс отображение As Доказательство теоремы о сохранении инвариантных торов
261
представляет собой трансляцию, определяемую частотой из*. Обозначим Px00 = Iim ря, и пусть T^0 — тор р = р*, a Aco — отображение
s-»ос
A00: Tx00 Tx00, Aocq = q + u3*. Наконец, обозначим
Ds, = Cf1C^1.. .Cji1, D=IimDs.
s —у oo
Тор, инвариантный относительно BA. задается соотношением
Т(из*) = DT*X.
Докажем теперь, что рассматриваемые пределы существуют и что на Т(из*) выполняется соотношение DAco = BAD. ¦
Сходимость П34.38
С учетом неравенства ^ ф 0 можно предположить, что в [О] справедливы неравенства
0_1|ф| < \du3(p)\ < 0\dp\.
Предположим, что из* принадлежит Sl(K). По лемме (П34.10) почти любая частота из* принадлежит Sl(K) при некотором К > 0. Положим во = 2в и определим последовательность постоянных с помощью соотношений
s1 = s>0, S2 = it, й = #,... А+1 =
Положим
7 . = А=7.%(Я+а), = ?s2 = 7.Г1/2(и+2).
Тогда
Ъ+1 = Is2, ?,+i = ?l2, N„+i = N^.
Чтобы определить все эти числа, достаточно выбрать Обозначим через а. положительную постоянную, достаточно большую для того, чтобы было выполнено
а > v2, а > 2v4 + 1, а > V1 + 2. 262
Глава 34
Если S < С (где О < С < jjj — абсолютная постоянная, т.е. зависит только от п, К, во, а. и постоянных Vk, Ck, которые входят в индуктивную лемму), то, как нетрудно видеть,
1)
< j\р\ (П34.39)
2)
Y^ts < в; (П34.40) 3) при всех s=l,2, ... имеют место неравенства
< C1Js, Ъ < C2?s, ?s < C3, js < C4N-^2Ki js+1 < C57I,
(П34.41)
где C1, C2, C3, C4, C5 — постоянные из индуктивной леммы, зависящие от К и в, выбранных выше;
4)
e-?.N. = -І < $+Vl)+\ (П34.42)
Постоянная S удовлетворяет неравенству в < S < С. Теперь числа Ns, от которых зависит наше построение, полностью определены.
Предположим теперь, что наше отображение Bi = В имеет производящую функцию Pq + В4(Р, q), которая удовлетворяет
в \Р~ Pil < 7ь I Im<?| < Pi = \р неравенству Bi | < M1 = S1. По лемме П34.18 это неравенство выполняется, если є в условиях теоремы 21.11 (гл. 4) достаточно мало. Принимая во внимание неравенства (П34.41), нетрудно понять, что условия индуктивной леммы выполняются при А = Ai, В = Bi (так как а > и2). Следовательно, индуктивная лемма позволяет нам найти A2, B2, C2, р2 и т.д.
Докажем теперь, что в области |р — р2\ < J2, | Im< р2 = pi — ?i отображения B2, A2 снова удовлетворяют всем условиям индуктивной леммы.
Действительно, из (П34.39) следует, что р2 > 0; из (П34.40) и третьей части индуктивной леммы мы заключаем, что A2 удовлетворяет неравенствам
O2^dpl < |dw2(p)| < e2\dp\ с Q2 < во. Доказательство теоремы о сохранении инвариантных торов
263
Наконец, в силу второй части индуктивной леммы, из неравенств (П34.42) и а > 2щ + 1, а. > vі + 2 получаем
\В2\ < Mlsp* + M1E-^ni • S-v^ < S'la~^ + < S^";
иначе говоря,
\В2\ < M2 = 6%.
Таким образом, все условия индуктивной теоремы выполнены и для B2 и A2.
Повторяя те же рассуждения, получаем \Вв\ < Ms = S" в области \р-р*\ < 7s; I Img| < ps.
Пусть Gs — область \р — р*\ < 7,,, | Imу < ря. Тогда диффеоморфизмы С71 отображают Gs+1 в Gs, и в смысле C1-HopMbi в Gs+1 справедливо неравенство
IICJ1 -EIIc1 < Ss, (П34.43)
где E — тождественное отображение.
Точка ^J0 есть пересечение шаров \р — < 7S, s эо. Из оценки (П34.43) немедленно следует сходимость отображений Ds, ,s —00, на торе
