Эргодические проблемы классической механики - Арнольд В.И.
ISBN 5-89806-018-9
Скачать (прямая ссылка):
T(Ax) = S(x) + const. (П32.17)
Доказательство.
Пусть je и <т(є) — кривая и поверхность из леммы (П32.12). Кривая j' = Aj соединяет точки Ax и Ay. Кроме того, кривые Tej'. О ^ St S^ є. образуют полосу т(е), которая есть не что иное, как
T (є) = AcГ (є). (П32.18)
Из соотношения (П32.13) мы получаем, что
S(y) - S(x) = ?і[<г(є)],
Є (П32.19)
T(Ay)-T(Ax) = j-I[r(e)].
Ho A — каноническое отображение, следовательно, по формулам (П32.2) и (П32.18) І[а{є)] = І[т(є)]. Сравнивая с (П32.19), получаем (П32.17). ¦
Следствие П 32.20. Пусть Be и Ce — инфинитезималъные канонические отображения с производящими функциями, соответственно В и С, А — конечное каноническое отображение. Тогда инфинитезималь-ное каноническое отображение
B1e = CeBeA C-1A-1 (П32.21)
имеет в качестве производящей функции
В'(х) = С(х) + В(х) - C(A-1x) + const. (П32.22)
Действительно, из (П32.8) следует, что производящая функция произведения двух инфинитезимальных отображений есть сумма их производящих функций и что производящая функция обратного отображения С-1 есть функция —С. Используя эти замечания и лемму (П32.16), получаем (П32.22). Производящие функции канонических отображений
237
С. Коммутаторы Ли и скобки Пуассона.
Пусть Ae и Be два инфинитезимальных канонических отображения. Тогда существует инфинитезимальное каноническое отображение, причем только одно, Ce такое, что
Это отображение Ce называется коммутатором Ли отображений Ae и Be.
Лемма П32.24. Производящая функция С отображении Cs равна взятой с обратным знаком скобке Пуассона производящих функций AuC отображений Ae и Be:
Доказательство.
Пусть 7 — снова кривая, соединяющая точки х и у: ду = у — х. Рассмотрим пятиугольную призму (см. рис. П32.26), образованную четырьмя полосами:
и замыкаемую пятой полосой (?, образованную отрезками, соединяющими соответственные точки кривых 7 и 74, <9(75 = 74 — 7 + ....
Наконец, обозначим через тж и Ty основания призмы. Таким образом, 2-цспь (Т\ + ст2 + 0"з + о"4 + о"5 + ту + тх = S образует 2-цикл, гомологичный нулю. Так как форма dp Adq замкнута, то в обозначениях (П32.2) получаем:
I{cTi)+I{(T2)+I(cTZ)+I{(TA)+I(CTb)+1{ту)-1(тх) =Z(S) =0. (П32.27) Но по лемме (П32.12),
' I(ai) =-Ь[В(у)-В(х)\+ 0(Ъ2), I(IT2) = ~a[A(yi) - A(xi)} + 0(о2),
АаВъА_аВ_ь = Cab + 0(а2) + 0(b2): 0. (П32.23)
VC = -[V^VB], V — градиент.
(П32.25)
(Ti = Be7, —Ь < є < 0, дсгі = 7 - 7i + ...,
<т2 = Де Ti; -а, < є < 0, да2 = Ti ~ Ъ + ¦ ¦ ¦,
(T3 = BeТ2; 0 < є < b, Da3 = Т2 - Тз + • • •,
Cr4 = Ae7з, 0 < ? < а, дсті = тз -Т4 + • • • >
< I(T3) = b[B(y2) -B(X2)] +0(62), K(Ti) = а,[А(у3)-А(х3)]+0(а2), . 1(<ть) = —аЬ[С(у) - С(х)] + 0(а2) + 0(?2).
(П32.28) 238
Приложение 32
/А'
,У і
Рис. П32.26
С другой стороны, Iу — ї/41 = О(аЬ), следовательно, интегралы от dp Л dq по поверхности г определяется выражениями
I(Ty) = ab[VB(y),VA(y)] + 0(а2) + 0(Ъ2), 1(Тх) = -ab[VB(x),VA(x)] + 0(а2) + 0(Ь2),
(П32.29)
Наконец, из (П32.8) мы заключаем, что IVA, IVB — векторные поля, соответствующие Ae и Be. Следовательно, с точностью до О (а? + Ь2)
Муз) - Цуі) = (VA, уз - уі) = (VA, у3 - у2) + (VA, у2 - Уі) = = (VA,IVB)b - (VA,IVA)a = = [VB, VA]b - [VA, VA]a = [VB, VA}b.
Точно также:
B(y2) - B(y) = -[VA,VB]a. Таким образом, из (П32.28) следует, что
1(<ті) + 1(<т2) + I (аз) + I(a4) = 0(а2) + 0(Ь2).
Сравнивая (П32.27), (П32.29) и (П32.30), получаем (П32.25). ¦ Приложение 33 Глобальные канонические отображения
(См. §21, гл. 4)
В этом приложении мы излагаем топологические причины существования периодических траекторий в гамильтоновых системах с п степенями свободы.
А. Производящие функции
Пусть fi = Ж" X ТГ" — каноническое пространство, р: П —> И™ С
CM™ = {(Pi,...,Рп)} и ?: Sl 4 Г = {(?,...,?) (mod 2тг)} — ко-
ординаты точки X Є fi. Отображение Arfi-^fi называется глобально каноническим, если оно гомотопно тождественному и удовлетворяет ра-
для любого 1-цикла 7, не гомологичного нулю.
Как показано в приложении 32, отображение А локально задано производящей функцией Pq + А(Р, q), так как
Следовательно, локально функция А(Р, q) удовлетворяет соотноше-
вепству
(П33.1)
(П33.2)
(Ах = (P(x),Q(x)), P Є В", Q Є Tra).
ІІИІО
(Q -q)dP+(p- Р) dq. (ПЗЗ.З)
Положим А(х) = А(Р(х), q(x)), где х = (р(х), q(x)) Є fi. 240
Приложение 33
Лемма П33.4. Отображение (П33.2) глобальное каноническое в том и только том случае, если функция А(х), определенная соотношением (ПЗЗ.З), однозначна на Q,.
Доказательство.
Пусть 7 замкнутая кривая в І2. Докажем, что
f(Q-q)dP+(p- P) dq = 0. (П33.5)
J -у
Действительно, (П33.1) эквивалентно соотношению
і pdq= і PdQ. (П33.6)
J fY J •у
В результате мы получаем
<f>{Q-q)dP+{p- Р) dq =
= & Q dP + P d,Q - [qdP + P dq) = і d[P{Q-q)]. J 7 J j
Приращение величины P(Q — q) вдоль 7 равно нулю:
A d[P(Q - q)] = 0, (П33.7)
J ^y
поскольку отображение А гомотопно тождественному отображению. Наоборот, из (П33.5) и (П33.7) следует (ПЗЗ.б). ¦
