Эргодические проблемы классической механики - Арнольд В.И.
ISBN 5-89806-018-9
Скачать (прямая ссылка):
1 Динамические системы, гл. 3. 218
Приложение 28
Теорема П28.22. Неподвижная точка общего эллиптического отображения устойчива.
Доказательство.
Доказательство состоит в применении конструкции доказательства теоремы 21.11 из гл. 4 (см. приложение 34) к преобразованию (П28.1), где 0(In+1) при / <С 1 рассматривается как возмущение отображения
I' = I, ip'= ip + a + ail + ... + ап1п.
¦
Аналогичные теоремы можно доказать и относительно устойчивости положений равновесия и эллиптических периодических решений гамильтоновых систем с двумя степенями свободы (см. В. И. Арнольд [7]). Наиболее сильный результат был получен Ю.Мозером [1].
Теорема П28.3 (Мозер). Неподвижная точка канонического эллиптического отображения А плоскости устойчива, если:
1) аф 2я-у, 2тг^-;
2) O1 ф 0;
3) А дифференцируемо 333 раза. (Как показано в работе Мозера [3], это число производных может быть значительно уменьшено.)
Полное доказательство см. в упоминавшейся работе Ю. Мозера.
Замечание П28.4. Если а = то, как доказал Леви-Чивита [1], непо-
ві
движная точка может быть неустойчивой.
2B. И. Арнольд [7]. Приложение 29 Параметрические резонансы
(См. §20, гл. 4)
Анализ устойчивости неподвижной точки (0, 0), проведенный в § 20 (гл. 4), основан на идеях Пуанкаре и Ляпунова. Обобщение их результатов на системы с многими степенями свободы было осуществлено только в 1950 году М.Г. Крейном [1], [2]. Исследования Крейна были продолжены Якубовичем [1], Гельфапдом и Лидским [4] и т.д. Изложение теоремы Крейна было опубликовано Мозером [3].
Пусть А — линейное симплектическое отображение1 канонического пространства Ж2"'. Отображение А называется устойчивым, если последовательность An ограничена. Отображение А называется параліет-рически устойчивым, если все симплектические отображения, близкие к А, устойчивы.
В приложении 27 доказано (и использовано в § 20, гл. 4), что эллиптические отображения плоскости Ж2 параметрически устойчивы.
М. Г. Крейн нашел все параметрически устойчивые отображения пространства K2".
Лемма П29.1 (Пуанкаре —Ляпунов). Множество собственных значений А симплектического отображения А симметрично относительно действительной оси и окружности |А| = 1.
Доказательство.
Утверждение леммы следует из того, что характеристический по-
1T1C. А сохраняет кососкалярное произведение [?, ц] — //), где (••¦) — ска-
. (0 -Е\ _ лярное произведение, I = р )' — единичная матрица п X п.
Следовательно,
[Af, Ay] = [f, у] и A1IA = I. 220
Приложение 29
липом имеет действительные коэффициенты и взаимпообратпые корпи:
р{A) = det (А - АЕ) = det (-IA1-1I + XI2) = = det {-А''1 + XE) = det {-A'1 + XE) = = det (-E + АЛ) = A2" det (А - X'1E) = Х2пр(Х~1).
¦
Из леммы (А29.1) выводим следствие.
Следствие П29.2. Собственные значения отображения А разбиваются на пары и четверки. Пары состоят из X и A^17 причем X лежат на действительной оси или на окружности |А| = 1. Четверки состоят из А, А, А-1, А-1, симметричных относительно действительной оси и взаимно обратных относительно окружности |А| = 1 (см. рис. П29.3).
г лз
і I і I і I ' 1 \ / J \ і \ 1 1 > л= і л
Il I 1
-11 I I о/ s 1
1=1 X2 A2 il ' „н t і I I \ I X і і і і і і, і і
•л у і / ( ___\__— і і \ \ і і и 1 к
ч
Рис. П29.3
Следствие П29.4. Отображение А параметрически устойчиво, если все его собственные значения расположены на окружности |А| = 1 и простые. Параметрические резонанси
221
Действительно, если собственные значения просты и расположены на |А| = 1, то:
1) А устойчиво (по причинам, которые ясны из рассмотрения нормальной формы),
2) собственные значения всех симплектических отображений А', близких к А, расположены па |А| = 1.
Действительно, в противном случае собственные значения Л и Л-1 отображений А! были бы расположены в окрестности единственного изолированного собственного значения отображения А (см. рис. П29.3).
Предположим, начиная с этого места, что ±1 не являются собственными значениями отображения А. М. Г. Крсйп разделил собственные значения Л, расположенные на |А| = 1, на два класса: положительные и отрицательные. Предположим сначала, что все собственные значения отображения А простые, и докажем следующую лемму. Лемма П29.5. Пусть ^2 — ^ea собственных вектора с собственными значениями, равными, соответственно, Ai и A2- Тогда либо AiA2 = 1, либо ?2] = 0.
Доказательство.
Из того, что ACtі = Аі?і и ACt2 = A2^2 следует
= AiA2^i, 6] = Ki, 6],
откуда
(AiA2 - 6] =0. ш
Следствие П29.6. Пусть <т плоскость, инвариантная относительно А, соответствующая двум комплексно сопряженным собственным значениям Ai, A2, |Ai| = |А2| = 1. Тогда:
1) плоскость а ортогональна (в смысле [-,-]) любому собственному вектору соответствующему другому собственному значению Аз,
2) для любой пары не коллинеарных векторов ? и щ из а произведение [С, 7]] отлично от нуля.
Утверждение 1 следует непосредственно из того, что AiA3 ф 1 и A2Аз ф 1, следовательно, по лемме (П29.5) [?і, ?3] = [?2, ?3] = 0.
