Эргодические проблемы классической механики - Арнольд В.И.
ISBN 5-89806-018-9
Скачать (прямая ссылка):
А. Подалгебры измеримых множеств
Пусть (М, ц) — измеримое пространство. Обозначим через 1 алгебру всех измеримых множеств и через 0 — алгебру подмножеств меры 0 или 1 (речь всегда идет об алгебрах по модулю нуль). Определение П17.1. Подалгебра измеримых множеств 21 алгебры 1 есть часть этой алгебры, замкнутая относительно взятия счетного объединения и перехода к дополнению:
из А Є 21 следует M \ А Є 21,
и содержит М. Включение П17.2.
Пусть 21о и 2li две подалгебры алгебры 1. Условимся записывать
Я0 CSli,
если любому элементу Ao Є 21о соответствует некоторый элемент A1 Є 211 такой, что A0 = A1 (mod 0), т.е.
?{(A0 U A1) \ (A0 n A1)) = 0.
Пересечение П17.3.
Пусть (21 і)іє/ — семейство подалгебр алгебры 1. Обозначим через
п*
г€1
наибольшую из подалгебр алгебры 1, содержащуюся в каждой 21,. 152
Приложение 17
Сумма П17.4
Аналогичным образом обозначим через
щ
ІЄІ
сумму всех подалгебр алгебры 1 таких, что каждая их них содержит все Sli-
Пространство L2(Sl). П17.5
Пусть 21 — подалгебра алгебры 1. Обозначим через L2 (21) подпространство пространства L2 (М, /і), порожденного характеристическими функциями Ж а элементов А Є 21.
Нетрудно проверить, что имеют место следующие свойства:
из 21 С fB следует, что L2 (21) С L2(fB),
L2(P) 2lj) = f|L2(2li),
ІЄІ ІЄІ
= Umsi,;),
ІЄІ ІЄІ
L2(O) = Hq пространство функций, постоянных почти всюду.
В. Спектры UT-систем
Докажем следующую теорему (см. теорему 11.5).
Теорема П17.6. К-система (М, ?, tp) имеет счетнократный лебеговский спектр.
По определению 11.1 (гл. 2), существует подалгебра 21 алгебры 1 такая, что
О = р| ipn21.... С С 21 С (^21 С ... С \/ ... <^n2l = 1.
ti— — oo п— — ос
(П17.7)
Доказательство теоремы сводится к доказательству следующих лемм. Спектры К-систем
153
Лемма П17.8. Пусть U — унитарный оператор, индуцированный диффеоморфизмом tp. Если обозначить H = L2 (21), то
OO
H0 = р) UnH С ... С UH с н с
CU-1H с... С [J UnH = L2(M, ?),
п — — ОС
а если обозначить временно H О H0 = H1 (ортогональное дополнение),
то
{0} = р) UnH' С ... С UH' С H' С
CU-1H' С ...С Q UnH' = L12 = L2 (М, ?) Q H0.
п=—ос
Доказательство.
Пусть А Є 21, ЗСа — характеристическая функция элемента А. Тогда
{О, если ю(х) 4 А,
< ч „ 1, если іP(X) Є А,
т. с.
{О, если X Ф Ip-1A,
і
1, если X Є р> А.
Следовательно,
UHi-A = ^ip-1A-Поэтому из определения L2 (21) получаем
UL2 (21) =L2 (^21).
Таким образом, лемма следует из свойств П17.5. ¦
Лемма П17.9. На L2 = L2 (М, ?)OH0 оператор U имеет лебеговский спектр с кратностью, равной dim(if Э UH). 154
Приложение 17
Доказательство.
Выберем в H' G UH' полный ортонормированный базис {hi}. Пусть Жі — замыкание подпространства, порожденного {hi, Uhi,...}. Следовательно, по построению U^hi, Ж\ попарно ортогональны. Так
OO
как (см. предыдущую лемму) f) UnH' = {0}, система {t/'7i;} полна
U=-OG
в Я':
Н' = ®^Ж\. (П17.10)
г
Установив это, запишем предыдущую лемму в виде
(J U-H'= L12,
(J и~пн' = L'2.
п=а
Таким образом, с учетом (П17.10) получаем:
L12=Ij U-K (® Жг) = ® LJ и~пЖі,
п=О і і n=0
или. полагая
Hi= {J и-пЖи (П17.11)
n—О
преобразуем к виду
Lt2 = 0)^2 Hi. (П17.12)
По формуле (П17.11), исходя из базиса {hi, Uhi, ¦ • ¦ } в Жі, построим полный ортонормированный базис в Hf.
к=f Ujhi І і є Z},
Ueij = U(U-lIii) = U^+1Iii = eij+i при любых і и любых j. Спектры К-систем
155
Итак, используя соотношение (П17.12), мы заключаем, что U имеет на L12 лебеговский спектр. Порядок его кратности равен числу подпространств Hj, т. е.
с!іт(Я' Q UH') = с!іт(Я Q UH).
Лемма П17.13.
(1іт(Я Є UH) = оо.
Доказательство. По лемме П17.8
... < dim UH ^ dim Я < AimU-1H < ...
Это означает, что dim Я = оо и что UH ф Н. В противном случае, начиная с некоторого п > 0, выполнялось бы соотношение AimUnH = = dimUn+1H = dim{0}, т.е. H = 0. По той же причине dimUH = оо.
Так как UH ф Н, можно найти 0 ф / Є Я Q UH. Обозначим F = = {то I то Є М, /(то) ф 0}. Поскольку F Є 21 и p(F) > 0 для / Є L2(21), пространство
L = {g3CF I g Є Я}
имеет бесконечную размерность при dim Я = оо (,?? — характеристическая функция F).
Точно также, поскольку ?(F) > 0 и dim UH = ос, пространство
L1 = {g%F \ g€ UH}
имеет бесконечную размерность. Пусть L0 = L Q L1. Если giXp Є L0 и he UH, то
(gSCF I h) = (g%F I h/XF) = 0,
следовательно,
L0CHQ UH,
и достаточно доказать, что dimL0 = оо.
Так как пространство L1 бесконечномерно, можно выбрать последовательность линейно независимых ограниченных действительных функций hi, h2,... Є UH таких, что
Xphi, Stph2, • • • ,Є Li
будут линейно независимы. Приложение 18 Условная энтропия разбиения относительно другого разбиения
(См. §12, гл. 2) А. Измеримые разбиения
Определение П18.1. Пусть (М, ?) — измеримое пространство; разбиением а = {Аі}і?і пространства M называется набор непустых измеримых множеств таких, что
