Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
f (X) = dg {х),
в котором g(x) является многочленом с содержанием 1. Многочлен g(x) и скаляр d определены однозначно с точностью до обратимых множителей.
Лемма 1. Произведение двух многочленов с содержанием 1 вновь является многочленом с содержанием 1. Доказательство. Пусть
f (х) = а0 + П]Х + ? • •
и
g(x) = b0 + b1x + ...
— данные многочлены с содержанием 1. Допустим, что наибольший общий делитель коэффициентов многочлена f{x)g{x) равен d и необратим. Если р — произвольный простой делитель элемента d, то р должен быть делителем всех коэффициентов произведения f(x)g(x). Пусть аг — первый из коэффициентов многочлена /(х), который не делится на р, и ^ — коэффициент многочлена g(x) с аналогичным свойством.
Коэффициент при xr+s в произведении f(x)g(x) выглядит так:
Qrbs~i~ar-\ibs-i dr’rvPs—z• • -'Ей/- l^iti + a/._2^it-2'4"- • •
Эта сумма должна делиться иа р. Все ее слагаемые, за исключением первого, должны делиться -на р. Следовательно, arbs также должно делиться на р, так что аг или bs должно делиться на р, что противоречит предположению.
Пусть 2—поле частных кольца @ (§ 13). Тогда каждый многочлен кольца 2 [х] разлагается на простые множители однозначно (§ 18). Чтобы перейти от разложения в 2 [х] к разложению в 0[х], воспользуемся следующей процедурой: каждый много-
F (
член ф (х) кольца 2 [х] можно представить в виде (где F (х)
принадлежит кольцу @ [х], а Ь — кольцу @), причем b является произведением знаменателей коэффициентов многочлена ф(х). Многочлен же F (х) можно записать в виде произведения его содержания на многочлен с содержанием П
и
F (х) = af (х) ф (х) =? ab- f (х).
(1)
РАЗЛОЖЕНИЕ НА МНОЖИТЕЛИ
115
Мы утверждаем теперь следующее:
Лемма 2. Указанный в равенстве (1) многочлен / (х) с содержанием 1 определяется многочленом ср (х) однозначно с точностью до обратимых в 0 элементов. Обратно, многочлен ср (х) определяется многочленом I (х) однозначно с точностью до обратимых в 2 [х] элементов. Если таким способом сопоставить каждому Ф (х) из 2 [а] многочлен / (х) с содержанием 1, то произведению двух многочленов ф (х) ф (х) будет соответствовать с точностью до обратимых множителей произведение соответствующих многочленов с содержанием 1 (и обратно). Если многочлен ф (х) неразложим в 2[х], то и многочлен / (х) неразложим в @ [х] (и обратно).
Доказательство. Пусть даны два различных представления многочлена ф(х):
ф(*) = у/(*) = 2§(х)-
Тогда
аЛ1 {х) = сЬд(х). (2)
Содержание левой части равно ай, а содержание правой равно сЬ, следовательно,
ад = гсЬ,
где е —обратимый элемент кольца 0. Подставим это в (2) и сократим на сЬ:
е/(*)=?(*)•
Таким образом, многочлены / (х) и g(x) отличаются друг от друга обратимым в 0 множителем.
Для произведения двух многочленов
ф (х) = {(х),
мы немедленно получаем
ф (*)#(*),
и согласно лемме 1 произведение f(x)g(x) вновь является многочленом с содержанием 1. Следовательно, произведению ф (х) т|з (х) соответствует произведение f(x)g(x).
Наконец, если ф (х) — неразложимый многочлен, го таким же будет и /(х), потому что любое разложение / (х) = g (х) к (х) сразу же приводит к разложению
<f>(x) = Jf(x)=Jg(x)h(x).
Обратное утверждение получается точно так же.
116
ЦЕЛЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ V
Лемма 2 доказана.
С помощью леммы 2 однозначность разложения многочленов немедленно переносится на соответствующие многочлены с содержанием 1. Итак: многочлены с содержанием 1 разлагаются на простые множители однозначно с точностью до обратимых элементов, причем эти простые множители снова являются многочленами с содержанием 1.
Рассмотрим теперь разложение на множители произвольного многочлена в 3[х]. Неразложимые многочлены обязательно являются или неразложимыми константами или неразложимыми многочленами с содержанием 1, потому что любой другой многочлен разложим в произведение своего содержания и многочлена с содержанием 1. Следовательно, чтобы разложить какой-либо многочлен f (х), нужно сначала разложить f (х) в произведение его содержания и многочлена с содержанием 1, а потом каждый из этих сомножителей разлагать на простые множители. В силу предпосылок основной теоремы разложение содержания осуществить можно, и притом однозначно с точностью до обратимых элементов; разложение же на простые множители многочлена с содержанием 1 также возможно в силу доказанного выше. Тем самым основная теорема доказана.
Попутно мы получили следующий важный результат:
Если многочлен F (х) из 3 [х] разложим в 2 [л;], то он разложим уже в 3 [х].
Действительно, в силу того, что F (х) = df (х), многочлену F (х) соответствует некоторый многочлен f (х) с содержанием 1, а согласно лемме 2 разложение многочлена F (х) в 2 [х] приводит к разложению многочлена f (х) в 3 [х], но если f (х) неразложим, то неразложим и F (х).
Например, любой многочлен с целыми рациональными коэффициентами, который разлагается над рациональными числами, оказывается разложимым уже над целыми числами. Итак: если целочисленный многочлен неразложим над целыми числами, то он неразложим и над рациональными числами.
