Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Задача 3. Факторгруппа S4/?[4 по четверной группе Клейна (§ 9, задача 4) изоморфна группе подстановок ®3.
Задача 4. Элементы aba~lb-1 произвольной группы 0 и их произведения (взятые в конечном числе) образуют группу, называемую коммутантом группы 0. Эта подгруппа является нормальной и факторгруппа по ней абелева. Каждая нормальная подгруппа, факторгруппа по которой абелева, содержит коммутант.
Задача 5. Если © — циклическая группа, а —порождающий ее элемент, а д —подгруппа индекса т, то факторгруппа 0/д —циклическая группа порядка т.
В абелевой группе всякая подгруппа является нормальной (ср. § 8, задача 4). Если закон композиции записывать как сложение, то группы и подгруппы принято называть модулями, о чем упоминалось выше. Смежный класс a -fOO! (где 001 — некоторый модуль) называется классом вычетов по модулю ЭЛ (или классом вычетов mod ЗОЇ), а факторгруппа @/001 называется фактор-модулем модуля @ по подмодулю ЭЛ.
Два элемента а, b лежат в одном классе вычетов, если их разность лежит в 201. Такие два элемента называют сравнимыми по модулю 001 (или сравнимыми mod 001) и пишут
а н= b (mod 001)
или, кратко,
,asi( 0Л).
Тогда для элементов а и Ъ модуля классов вычетов, соответствующих элементам а и b в силу гомоморфизма, имеет место равенство
й = Ь.
Наоборот, из й = Ь следует a = 6 (001).
Например, в множестве целых чисел кратные фиксированного натурального числа т образуют модуль, и в соответствии с этим пишут
а ==Ь (т),
если разность а — Ь делится на т. Классы вычетов могут быть представлены элементами 0, 1, 2, ..., т — 1 и, следовательно, модуль классов вычетов является циклической группой порядка т.
Задача 6. Каждая циклическая группа порядка т изоморфна модулю классов вычетов по целому числу т.
Глава третья
КОЛЬЦА, ТЕЛА И ПОЛЯ
Содержание- Определение понятий кольца, целостного кольца, тела и поля. Общие методы построения из данных колец новых колец, тел и полей. Теоремы о разложении на простые множители в целостных кольцах.
Понятия этой главы будут нужны на протяжении всей книги.
§ 11. Кольца
Алгебра и арифметика оперируют объектами различной природы; это — целые, рациональные, вещественные, комплексные, алгебраические числа, многочлены или рациональные функции от п переменных и т. д. Позднее мы познакомимся с объектами иного сорта — гиперкомплексными числами, классами вычетов и др., с которыми можно оперировать точно так же, или почти так же, как с числами. По этой причине желательно объединить все упомянутые классы объектов одним общим понятием и с общих позиций описать правила действий в этих областях.
Под системой с двойной композицией подразумевается произвольное множество элементов а, Ь, ..., в котором для любых двух элементов а, Ъ однозначно определены сумма а-\-Ь и произведение а ? Ь, вновь принадлежащие данному множеству.
Система с двойной композицией называется кольцом, если операции над элементами этой системы подчиняются следующим законам:
I. Законы сложения:
а) Закон ассоциативности: а + (Ь-(-с) = (а-(-Ь)-(-с.
б) Закон коммутативности: а-\-Ь = Ь -\-а.
в) Разрешимость1) уравнения а-\-х = Ь для всех а, Ь.
II. Закон умножения:
а) Закон ассоциативности: а- Ьс = аЬ ? с.
III. Законы дистрибутивности:
а) а ? фс) = аЬ ф ас;
б) ф ф- с) • а = Ьа + са.
4 Однозначная разрешимость не требуется, а получается дальше как следствие.
50 КОЛЬЦА, ТЕЛА И ПОЛЯ [ГЛ. III
Примечание. Если для умножения выполняется закон коммутативности:
II б). а-Ь — Ь-а,
то кольцо называется коммутативным. На первых порах мы будем иметь дело в основном с коммутативными кольцами.
К законам сложения. Три закона 1а), б), в) означают в совокупности, что элементы кольца образуют абелеву группу относительно сложениях). Таким образом, мы можем перенести на кольца теоремы, ранее доказанные для абелевых групп: существует один и только один нулевой элемент 0 со свойством
а + 0 = а для всех а.
Далее, для каждого элемента а существует противоположный элемент —а со свойством
(— а) + а — 0.
Таким образом, уравнение а-\-х = Ь не только разрешимо, но и однозначно разрешимо; его единственное решение — элемент
х = (— а) + Ь,
который мы обозначаем также и через Ь— а. Так как
а — Ь = а-\-(—Ь),
любая разность может быть превращена в сумму; следовательно, в этом смысле для разностей имеют место те же -правила перестановки, что и для сумм, например,
(а — Ь) — с = (а — с) — Ь.
Наконец, — (— а) — а и а — а = 0.
К законам ассоциативности. Как мы видели в § 6 (гл. 2), на основе закона ассоциативности для умножения можно определить сложные произведения
п
У|ау = а1а2...ал 1
и доказать их основное свойство:
т п т-\-п
ГК П ат= П ат-
1 у = 1 1
Точно так же можно определить суммы
п
У Ау = а1 а2 ~Н. •. ап
I) Эту группу называют аддитивной группой кольца,
| 11] КОЛЬЦА 51
и доказать их основное свойство:
т п т + п
У, Яц -f- ^m+v = 2 ^v'
1 v = l 1
В силу 16) в любой сумме можно произвольным образом переставлять слагаемые, а в коммутативных кольцах то же самое верно и для произведений.
К законам дистрибутивности. Если имеет место закон коммутативности для умножения, то, конечно, закон II16) является следствием закона II 1а).
