Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Доказательство такое же, как в случае групп.
Если кольцо 91 коммутативно, то коммутативно и 91.
Если 91 — целостное кольцо, то 91 не обязано быть целостным, как мы увидим позднее; кольцо 91 может быть целостным и тогда, когда 91 таковым не является. Но если отображение изоморфно, то, конечно, все алгебраические свойства кольца Д переносятся на кольцо 91. Отсюда следует утверждение:
ПОСТРОЕНИЕ ЧАСТНЫХ
57
Изоморфный образ целостного кольца (соответственно поля) является целостным кольцом (соответственно полем).
Здесь уместно сформулировать одну почти тривиальную теорему, которая будет важна в дальнейшем:
Пусть 91 и ®' — два кольца, не имеющие общих элементов; пусть @' содержит подкольцо 91', изоморфное 91. Тогда существует кольцо содержащее 91.
Доказательство. Удалим из®' элементы кольца 91' и заменим их на соответствующие при изоморфизме элементы кольца 91. Суммы и произведения на замененных и оставшихся элементах определим так, как это получается при изоморфном соответствии для исходных элементов в (Например, если перед заменой элементов выполнялось равенство а'Ь'=с', затем а' заменялся на а, а Ь' и с' оставались неизменными, то мы полагаем аЬ' = с'.) Таким способом из ®' возникает кольцо которое и в самом деле содержит 9(.
§ 13. Построение частных
Если коммутативное кольцо 91 вложено в некоторое тело й, то внутри ?2 из элементов кольца 91 можно строить частные1).
1 = а1г1 = Ь-1а (Ьф 0).
Для них имеют место следующие правила:
у = тогда и только тогда, когда ай = Ьс\
а , с а(1-\-Ьс /1ч
Т + Ш ’
ас ас Ь й Ьй
Для доказательства нужно убедиться в том, что обе части после умножения на Ьй дают одно и то же и что из Ьйх — Ьду следует х = у.
Таким образом, мы видим, что частные а/Ь составляют некоторое поле Р, которое называется полем частных коммутативного
кольца 91. Далее, из правил (1) усматривается, что способ, которым дроби сравниваются, складываются, умножаются, оказывается известным, как только эти операции определяются над элементами кольца 91, т. е. строение поля частных Р полностью определяется строением кольца 91, или: поля частных изоморфных колец изоморфны. В частности, любые два поля частных одного и того же кольца обязательно изоморфны, или: поле частных Р определяется
') Действительно, из аЬ=*Ьа следует, что аЬ 1=*Ь~1а, если слева и справа умножить на Ь~К
58
КОЛЬЦА, ТЕЛА И ПОЛЯ
[ГЛ III
кольцом 91 однозначно с точностью до изоморфизма, если только вообще данное кольцо обладает полем частных.
Зададимся теперь вопросом: какие коммутативные кольца обладают полями частных? Или, что то же самое, — какие коммутативные кольца могут быть погружены в поля?
Для того чтобы кольцо Ш можно было погрузить в тело, необходимо прежде всего, чтобы в 91 не было делителей нуля, потому что в теле делителей нуля нет. В коммутативном случае это условие и достаточно: каждое целостное кольцо 54 можно погрузить в некоторое поле*).
Доказательство. Мы можем исключить тривиальный случай, когда 9? состоит только из нулевого элемента. Рассмотрим множество всех пар элементов (а, Ь), где Ьф 0. Этим парам позднее мы сопоставим дроби а/Ь.
Положим (а, Ь)^(с, й), если ай = Ьс. (Ср. приведенные выше формулы (1).) Определенное таким образом отношение ~ является, очевидно, рефлексивным и симметричным; кроме того, оно и тран-зитивно, потому что из
(а, Ь)~(с, й), (с, /)
следует, что
ай = Ьс, с} -- йе,
и поэтому
ай[ = Ьс} = Ьйе.
Таким образом, в силу (!^=0 и коммутативности кольца 9?:
а} = Ье,
(а, *)~(е, /).
Отношение ~ обладает, таким образом, всеми свойствами эквивалентности. В соответствии с § 5 (гл. 1), эта последняя определяет некоторое разбиение пар (а, Ь) на классы, при котором эквивалентные пары попадают в один класс. Класс, которому принадлежит пара {а, Ь), будет обозначаться символом а/Ь. Как следствие этого определения равенство а/Ь = с/й оказывается выполненным тогда и только тогда, когда (а, Ь) (с, й), т. е. когда ай = Ьс.
В соответствии с предыдущими формулами (1) мы определим сумму и произведение новых символов а/Ь равенствами
а . с аё + Ьс ,0.
Т + 1 = ~Ш~ ^
И
О С С1С /0\
Т ’ 1 “ ~м ' < '
!) Для некоммутативных колец без делителей нуля эта теорема неверна. Соответствующий пример был впервые построен Мальцевым А- И. (Math. Ann., 1936, 113, S. 686-691).
§ 13] ПОСТРОЕНИЕ ЧАСТНЫХ 59
Эти определения корректны, потому что, во-первых, если Ьф О
и йфО, то ЬйФ 0 и выражения ^Ьс и ^ имеют смысл;
во-вторых, праьы; части не зависят от выбора представителей (а, Ь) и (с, d) классов а/b и c/d. Действительно, заменим в (2) а и b на а' и Ь', где
ab' — Ьа'\
тогда
adb' = a'db, adb' -f бсб' = a'db -f b'cb,
(ad -f be) b'd — (a'd -f b'c) bd
и, следовательно,
ad-\-bc a'd-\-b’c ' bd ~ ~~brd *
Точно так же:
ab' = ba', acb'd — a'cbd,
ac a'c
~bd ~ ~Vd '
Соответствующие равенства получаются при замене (с, d) на (с', d'), где cd' = dc'.
Без труда показывается, что полученная конструкция обладает всеми свойствами поля. Например, закон ассоциативности
сложения получается так:
а , ( с , е \ а , с/ + de adf + bef + bde
