Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Число элементов конечной группы называется ее порядком.
Дальнейшие правила оперирования. Для элемента, обратного к произведению, имеет место равенство:
(a6)-i = 6~ia-i.
Действительно,
(b1a'1) ab = b-1 (a 1ab) = Ь~гЬ = е.
Сложные произведения и суммы. Степени. Подобно тому как вместо ab ? с мы стали кратко записывать abc, введем сложные произведения многих сомножителей
П П
П av = П av = ага2... ап.
V — 1 1
Пусть даны а1г ..., aN\ определим по индукции (для n<N):
1
Дау = а1)
I
П+1 / п \
ПаУ = (П avJ ? а„+1 г).
!) Символ V, обозначающий переменный индекс, можно, конечно, заменить на любой другой, не меняя значения произведения.
§ 6] ПОНЯТИЕ ГРУППЫ 33
3 4
В частности, \\av — это наше прежнее аха^а9, a av = 1 1
= ащщЗа4 = {а1а2а:1) а, и т. д.
Докажем, используя лишь один закон ассоциативности, следующее правило:
т п т+п
ГТ ' ГТ ®т w = 11 ^v" (i)
ц = 1 v = l v = l
Словами: произведение двух сложных произведений является слож-
ным произведением всех участвующих сомножителей в их прежнем порядке. Например,
(ab) (cd) = abed, является частным случаем равенства (1).
Формула (1) очевидна при я = 1 (по определению символа ID-Если она уже доказана для некоторого значения п, то для следующего значения я + 1 имеем:
т п-\-1 т In \
П ^ * П + v “ &\l ' (| J[ &m+v ’ &m+n+\ ] “
11 I \ 1 /
/ m n \ /m+n \ m+rt-fl
” ( П ^ ’ П fl«*+v ) ^т+л+i “ ( | ( ) ^т+л+l == | j[ av.
\ I I / \ 1 / 1
Тем самым доказано (1).
n m-\-n
Замечание. Вместо J~[ am+v пишут также Ц av. Кроме того,
1 т+1
0
в отдельных случаях, если это удобно, пишут Цау = ?.
1
Произведение я одинаковых сомножителей называется степенью:
П
an = Y\.a (в частности, а} = а, а? = аа и т. д.)
1
Из доказанной теоремы следует, что
ап-ат = апЛт. (2)
Далее:
(ат)п = атп. (3)
Доказательство (с помощью индукции) оставляется читателю. Для доказательства появлявшихся до сих пор правил (1), (2)
и (3) требовался лишь закон ассоциативности; поэтому они будут
выполнены всякий раз, когда в рассматриваемой области определены произведения и справедлив закон ассоциативности (например, в области натуральных чисел), даже если эта область не является группой.
34 группы [гл п
Если умножение, кроме того, и коммутативно (случай абелевой группы), то можно доказать большее: значение сложного произведения не зависит от порядка следования сомножителей. Точнее: если ср — взаимно однозначное отображение отрезка (1, п) натурального ряда на себя, то
П П
J[ J[ Яу(\) ~ J[ [ av.
V=1 1
Доказательство. Для п = 1 утверждение очевидно. Поэтому будем предполагать его справедливым и для п — 1. Пусть число k отображается на п: <р(&) = п. Тогда
л k — 1 n—k jk—1 п—k V
| J[ ?qi(v) = J[ J[ ?<p(v) ' 0-q(k) ' ?q)(A+v) = ( Пф(-у) • H?(fc+v) 1 • *).
i i i \ 1 i !
Заключенное в скобки произведение содержит лишь сомножители аъ ..., ал_! в произвольном порядке. По предположению
л—I
индукции это выражение равно JJav- Поэтому
1
л л—1 п
| [ a,j,(v) — ?y • ап— | | ?y.
I 1 1
Из доказанного правила следует, что в абелевых группах законна запись вида
Г1 а1к
1 ^ I < к ^ п
ИЛИ
П а1к (1 = 1, ...,«; 6 = 1, ..., п),
С <к
означающая, что множество пар индексов 1, /г, подчиненных условию 1 / < к ^ п, перенумеровано каким-нибудь (безразлично,
каким) способом, а затем образовано произведение.
В произвольной группе обычным способом определяются нулевая и отрицательная степени любого элемента а:
с° = 1,
а~п = (сг1)",
и без труда показывается, что правила (2), (3) выполняются для любых целочисленных показателей.
п п
В аддитивной группе вместо ]^[ ау пишут ^ а%!, а вместо
I 1
1) В случае к — 1 опускается первый сомножитель, а в случае к — п — второй; доказательству это не мешает.
ПОДГРУППЫ
35
ап — соответственно па. Все доказанное для произведений переносится теперь и на суммы.
Правило (3), записанное аддитивно, имеет вид закона ассоциативности
п-та — пт- а,
в то время как (2) имеет вид закона дистрибутивности:
та~{-па — {т-\-п) а.
К этим двум законам присоединяется еще один закон дистрибутивности:
т (а + Ь) = та + тЬ
(в мультипликативной записи: (аЬ)т — атЬт), который, однако, имеет место лишь в абелевых группах. Это легко доказать с помощью индукции.
Задача 5. Доказать, что в абелевой группе
пт т п
П П ар',== II Па^-
У = 1 Ц=1 И= 1 V = 1
Задача 6. При тех же условиях
п п п п ^
у = 1 ц = 1 ц = 1 у = |л
п
Задача 7. Порядок симметрической группы равен п\ = Д у. (Индук-
1
ция по п.)
§ 7. Подгруппы
Чтобы непустое подмножество д группы © само было группой с тем же законом композиции, что ив®, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись аксиомы 1, 2, 3, 4. Аксиома 1 утверждает, что если а и Ь лежат в д, то и их произведение аЬ также лежит в д. Аксиома 2 выполняется в д, если она выполняется в ©. Аксиомы 3 и 4 означают, что в д лежит единичный элемент и что вместе с каждым элементом а в множестве д лежит обратный к нему элемент а-1. В данном случае требование о единичном элементе излишне, потому что если а —любой элемент из д, то аг1 лежит в д, и, следовательно, произведение аа~1 = е также лежит в д. Тем самым доказано:
