Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
(а+ У)“1 Е ат1 -ft/. (1)
Можно положить all = U' и 1?a~x = V’, так что U = a~1U' и У = У'а. Тогда из (1) будет следовать, что
или
(l + n-'sl+t/'. (2)
Поэтому достаточно устанавливать справедливость условия (1) только для а=1. Следовательно, аксиома TS эквивалентна следующему условию:
5. Для каждой окрестности U нуля существует другая окрестность V нуля такая, что
(l+^sl+t/. (3)
Примерами Т-полей могут служить нормированные поля и, в частности, поле вещественных чисел, поле комплексных чисел или поле р-адических чисел, а также их всевозможные подполя.
Топологическим кольцом является и кольцо всех вещественных (яхя)-матриц. Базис окрестностей нуля состоит в этом случае из множеств U, состоящих из матриц, элементы которых по абсолютной величине меньше заданного положительного числа е.
Дальнейшие условия получаются при рассмотрении в произвольном кольце г некоторой последовательности двусторонних идеалов, содержащихся друг в друге,
дхЭд2э
эти идеалы можно принять за базис окрестностей нуля. Условия 1—4 тогда будут выполнены. Топологическое Тх-кольцо получается при такой конструкции тогда, когда пересечение всех gv равно нулю.
Топологию кольца, определенную с помощью последовательности {gv}, называют {%у}-адической топологией. Если, в частности, gv —это степени некоторого простого идеала р в коммутативном кольце о:
р э р2 э р3 2 ...,
* 166]
ПОПОЛНЕНИЕ ГРУПП
591
то говорят о У-адической топологии. Позднее мы увидим, что во многих важных случаях пересечение степеней идеала р равно нулевому идеалу. Во всех таких случаях, следовательно, имеет место аксиома отделимости
В § 141 последовательность степеней (А простого идеала р была при более сильных условиях использована для определения некоторого нормирования кольца о. Однако если не предполагается рассматривать нормирование, а имеется в виду лишь топология на кольце, то эти более сильные условия излишни.
Задача 1. Условие 4 можно разбить на несколько более частных условий:
а) для а и и существует окрестность V такая, что аУ Е И\
б) для Ъ и и существует окрестность V такая, что УЬ Е {/;
в) для и существует окрестность V такая, что УУ = и.
Задача 2. В теле кватернионов над полем вещественных чисел (§ 93, пример 2) можно следующим образом ввести окрестности нуля: иг состоит из кватернионов а + Ь/ -\-ck-\-dl с нормой
(а — &/—ей — /И) (а-\-Ь/ +сй + ^0 = а2 + ^2+с2 + 42,
меньшей е. Доказать, что тело кватернионов с этой топологией является ТУтелом.
§ 166. Пополнение групп с помощью фундаментальных последовательностей
В § 142 для каждого нормированного поля было построено его расширение, в котором выполнялась теорема Коши о сходимости. Вспомогательным средством при этом служили фундаментальные последовательности {аД, которые характеризовались тем, что ау — Од при достаточно больших V и р принадлежат произвольной окрестности нуля. Проведем теперь аналогичную конструкцию для Т-групп, следуя методу ван Данцига1).
Последовательность {лД в некоторой Т-группе называется последовательностью Коши или фундаментальной последовательностью, если произвольная окрестность единичного элемента группы содержит элементы Х^'Ху при И VУffl.
Топологическая группа называется слабо полной, если каждая фундаментальная последовательность в ней имеет в ней же предел.
Зададимся теперь следующей целью: расширить произвольную Т-группу, удовлетворяющую аксиомам Д, и до некоторой слабо полной Т-группы.
Доказательством следующей леммы я обязан Г. Р. Фишеру. Окрестности единицы, как и раньше, будут обозначаться через 0, V, ...
Лемма. Пусть {л\.} — произвольная фундаментальная последовательность. Тогда для каждого V существуют такое натуральное
*) van Dantzig D. Zur topologischen Algebra, 1: Koinplettirungtheorie. — Math. Ann., 1933, 107, S. 587.
552
ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ АЛГЕБРА
[ГЛ. XX
т и такое V, что
для р^=т. О)
Доказательство. Выберем окрестность № так, чтобы №№№ Выберем далее т так, чтобы было
Хц,1ху^'№ для ц^т, у^т.
Тогда, в частности, хм 1хт и хД-Хц принадлежат К7 при ц^т. Согласно Е4 окрестность V можно выбрать внутри хтШх7п\ Тогда
х]11\/Хц^Хр'хт№Хт'х11^№\У1У г для р,^т.
Из этой леммы следует:
I. Если {хД и {уД — фундаментальные последовательности, то и {х^уД - фундаментальная последовательность.
Доказательство. Имеем
(•^нУм) 1 -ВУу ~ У и-1 -В>) Уц ' Уд У\"
В произведении справа оба сомножителя принадлежат сколь угодно малым окрестностям единицы е: первый сомножитель в силу леммы, а второй в силу определения фундаментальной последовательности. Следовательно, произведение тоже принадлежит сколь угодно малой окрестности единицы и. Последовательность {хмрД называется произведением фундаментальных последовательностей {хД и {рД.
Вот другое следствие доказанной леммы:
II. Если {хД — фундаментальная последовательность и {г/Д стремится к единице, то и
{Ч 'УдДЛ
стремится к единице.
Доказательство. Согласно лемме хДУх,, Е V при подходящем V и достаточно больших р и р„ 'принадлежит V при достаточно больших р, так что х^ ‘у^Хц принадлежит V для достаточно больших р.
