Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Дальнейшие примеры см. в § 163, задача, и § 164, пример 5.
Из ТС] и ТС2 легко следуют утверждения:
ТС'. Для каждой окрестности и (аТС) существуют окрестности V (а) и V? (Ь) такие, что V (а) (Ь) содержится в 0 (а Щ.
ТО". Для каждой окрестности и (аЬ-1) существуют окрестности V {а) и 1К' (Ь) такие, что V (а) \У" (Ь)-1 содержится в 0 (аЬ^1).
Задача. Доказать, что каждое из требований ТС' и ТС" может заменить оба требования ТС] и ТС2-
Докажем теперь следующее:
Каждая Тугруппа является Т2-группой.
Доказательство. Пусть афЪ, так что а~гЬфе. В силу Т] существует окрестность и (агхЬ), не содержащая е. Согласно ТС' существуюг окрестности V (а) и № (Ь) такие, что V (а)*1!!? (Ь) принадлежит и (а 1Ь), а потому это произведение не содержит е. Но тогда существуют окрестности V (а) и № (Ь), не имеющие ни одной общей точки. Этим доказано Т2.
Тем же методом доказывается следующее утверждение:
Если в некоторой Т-группе существует окрестность точки р, не содержащая точку у, то существуют две окрестности и (р)
586
ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ АЛГЕБРА
[ГЛ XX
и V (д) без общих элементов, и, таким образом, существует окрестность V (д), не содержащая точку р. В этом случае элементы р и <7 называют отделимыми друг от друга. Точки д, которые неотделимы от точки р, составляют замкнутую оболочку множества \р).
Две Т-гру ппы Си Н называются топологически изоморфными, если существует изоморфизм этих групп, являющийся одновременно топологическим отображением из С на Н.
§ 163. Окрестности единицы
Если задан базис окрестностей единицы е, то тем самым задаются все окрестности этого элемента: таковыми будут
множества и (е), которые содержат по крайней мере одну из базисных окрестностей. Но тогда оказываются известными окрестности и других точек, потому что если и (е) — окрестность единицы е, то аИ (е) — окрестность точки а и все окрестности точки а могут быть представлены в таком виде. Можно называть а1) (е) «сдвинутой на а окрестностью точки е».
Таким образом, мы видим, что топология Т-гру ппы полностью определяется заданием базиса окрестностей единицы е. Будем обозначать окрестности такого базиса через V, V, ...
Какими свойствами должны обладать указанные выше множества и, чтобы группа Б с окрестностями и(а) — аи(е) была топологической?
Следующие свойства являются во всяком случае необходимыми:
Ех. Каждое множество и содержит е (следует из и4 § 159).
Е2. Для каждого и существует V такое, что V • V содержится в и.
Е3. Для каждого И существует V такое, что К-1 содержится в и (следует из Т02 § 162).
Е4. Каждое сопряженное множество аИагг содержит некоторое множество V.
Е5. Каждое пересечение и ПК содержит некоторое У/ (следует из и2 § 159).
Доказательство Е2. В силу Т04 для V существуют некоторое V и некоторое такие, что К'1К' содержится
в окрестности и. Согласно и2 пересечение V' П содержит V.
Доказательство Е4. Так как а~хха — непрерывная функция элемента х, то для и существует окрестность V такая, что а гУа содержится в и, так что V содержится в аЦа1.
Пусть теперь наоборот — задана система множеств II в группе б, которые удовлетворяют требованиям Е4 — Е5. Построим сдвиги а11 и будем считать их базисом окрестностей точки а. Очевидно, эти базисные окрестности обладают свойствами Ц,. и и2 (§ 159). Покажем, что они обладают и свойством и3.
$ 163]
ОКРЕСТНОСТИ ЕДИНИЦ
587
Пусть, таким образом, U(a) = aU. Согласно Е2 существует множество V такое, что F-F содержится в U. Если теперь х — точка из aV, то xV содержится в aVV, а потому и в aU. Тем самым U', доказано.
Теперь мы должны доказать TGi и TG2 (§ 162).
Пусть дана произвольная окрестность abU. Согласно Е2 существует такое множество F, что F-F принадлежит U. Согласно Е4 в bVb1 существует некоторое W. Поэтому
aW ? bV = а • bVb-1 ? bV = abVV <= abU,
чем и доказывается TG4.
Пусть дана произвольная окрестность arW. Существует такое множество F, что V-1 принадлежит U. Кроме того, существует множество IF, принадлежащее a-1 Fa.
Имеет место включение aW с; Fa, так что
(alF)-1 = (Fa)-1 = a-xF-J = a^U,
чем и доказывается TG2.
Следовательно, для того чтобы превратить группу в Т-группу, нужно задать базис окрестностей единицы и доказать Е4 — Ё5.
Свойства Е2 и Е3 могут быть объединены в одно:
Е2+3. Для каждого множества U существует V, удовлетворяющее соотношению F-1F si/.
В случае абелевых групп свойство Е4 излишне. Если группа записывается аддитивно, то вводятся окрестности нуля и три следующих требования:
1. Каждое множество U содержит нуль.
2. Для каждого U существует V, удовлетворяющее условию F-F с[У.
3. Каждое пересечение U f| V содержит некоторую окрестность W.
Для того чтобы Т-группа, определенная с помощью окрестностей единицы, была Т4-группой, должна выполняться следующая аксиома отделимости:
Е6. Для каждого элемента афе существует окрестность U, не содержащая а.
Требования Е4 и Ев можно объединить в одно:
Пересечение всех окрестностей V состоит из одной лишь единицы.
Соответствующее требование для аддитивных групп:
Пересечение всех окрестностей U содержит только нуль.
