Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Если плейс р не разветвлен, то он дает одинаковые слагаемые для ковекторов Юг и ^<?г- Действительно, если V — вектор, который только относительно этого плейса р отличен от нуля, то можно считать V степенным рядом по г —а или гг1. Локальный след вектора V тогда равен самому вектору V и
578
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
[ГЛ. XIX
Отсюда следует, что почти равен kdz.
Остается показать единственность ковектора \id2. Докажем нечто более общее: если два дифференциала Вейля к и р почти равны, то они равны в обычном смысле.
Пусть р = X — р. Докажем, что V ? р равно нулю для произвольного вектора V. Скалярное произведение У'р, согласно (4) из § 152, является суммой слагаемых, соответствующих плейсам р. При этом мы можем ограничиться рассмотрением лишь слагаемых, соответствующих плейсам р из некоторого конечного множества М, потому что слагаемые, соответствующие остальным плейсам р, заведомо равны нулю. Для плейсов р из множества М мы можем аппроксимировать V с помощью некоторой функции и из К, причем настолько точно, что слагаемые, соответствующие этим плейсам р, в выражении («—У)-р обратятся в нуль § 149, теорема I). Но тогда
(и — V) • р = О,
и, следовательно, V -р — нр = 0, так как р — дифференциал Вейля. Тем самым теорема полностью доказана.
Пусть у — другой элемент, для которого К сепарабельно над А (у). Докажем равенство
= (14)
Так как обе части этого равенства являются дифференциалами Вейля, достаточно показать, что обе части почти равны. Но \idy почти равен kdy, а цаг почти равен kdz. Следовательно, достаточно доказать, что
§ V (15)
Но это получается непосредственно из определения (13):
V = dZ=%™*V%dy = V%'%*«=V
Р »
Наконец, покажем, что
^dz^Pdz' (16)
Пусть р— произвольный плейс и у —некоторая униформизи-рующая. В § 156 было доказано, что элемент г является сепарабельным над А (у). Так как К сепарабельно над А (г) и А (г)
сепарабельно над А (у), то поле К сепарабельно над А (у). Далее, плейс р неразветвлен над А (у), так что p-компоненты ковекторов kdy и pdy равны.
§ 157) доказательство теоремы о вычетах §79
Отсюда следует, что
(\г*)р = [ау ^)р = [лу *%)р
Так как это имеет место для каждого плейса р, то мы получили утверждение (16).
Поскольку \1аг является дифференциалом Вейля, то таков и ковектор каг, а отсюда следует теорема о вычетах.
Глава двадцатая
ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ АЛГЕБРА
Топологическая алгебра — это учение о группах, кольцах и телах, которые одновременно являются топологическими пространствами и в которых алгебраические операции непрерывны в смысле этой топологии. Такие группы, кольца и тела называют топологическими, или кратко —Т-группами, Т-кольцами и Т-телами.
§ 158. Понятие топологического пространства
Топологическое пространство — это множество Т, в котором выделены некоторые подмножества, названные открытыми множествами. Они должны обладать следующими свойствами:
1. Пересечение конечного числа открытых множеств вновь является открытым множеством.
II. Объединение любого множества открытых множеств вновь является открытым множеством.
Примеры. 1. Пусть Т — произвольное упорядоченное множество, которое содержит более одного элемента. Открытый интервал в Т определяется условием а<х<?, или условием а<х, или условием х<.Ь. Открытое множество — это такое множество, которое вместе с каждым своим элементом у содержит и некоторый открытый интервал, в который входит у.
2. Пусть Т — поле комплексных чисел. Круг с центром в точке а определим условием |г — а|<е. Открытым множеством назовем любое такое множество, которое вместе с каждым своим элементом а содержит и некоторый круг с центром в а.
3. То же определение проходит для любого нормированного поля, только нужно использовать ф (г —а) вместо | г — а |. Каждое нормированное поле является, следовательно, топологическим пространством.
Из I, в частности, следует, что все пространство Т открыто, потому что оно является пересечением пустого множества открытых множеств. Равным образом, из II следует, что пустое множество открыто, потому что оно является объединением пустого множества открытых множеств.
Подмножество М называется замкнутым множеством в топологическом пространстве Т, если его дополнение открыто Для замкнутых множеств имеют место правила, эквивалентные I и II:
§ 159]
БАЗИСЫ ОКРЕСТНОСТЕЙ
581
Г. Объединение конечного множества замкнутых множеств является замкнутым множеством.
IV. Пересечение любого множества замкнутых множеств является замкнутым множеством.
Элементы множества Т называются точками пространства Т. Открытое множество, содержащее точку р, называется открытой окрестностью точки р. Произвольное множество, содержащее открытую окрестность точки р, называется окрестностью точки р и обозначается через V (р).
Подмножество Т' топологического пространства Т само является топологическим пространством, если считать открытыми множествами в Т' пересечения с Т' открытых множеств из Т. Свойства I и II, конечно, выполняются в Т'.
Замкнутая оболочка М подмножества М топологического пространства Т — это пересечение всех замкнутых множеств, содержащих множество М.
