Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Если множество М конечно и его элементы занумерованы числами 1, 2,..., п, то каждую подстановку можно полностью описать схемой, в которой под каждым номером & указывается номер й (6) элемента, являющегося образом элемента с номером к. Например, схема
/1 2 3 4' в \2 4 3 1
изображает подстановку цифр 1, 2, 3, 4, в которой 1 переходит в 2, 2 переходит в 4, 3 переходит в 3 и 4 переходит в 1.
Под произведением двух подстановок в и / понимается подстановка, которую мы получаем, осуществляя сначала подстановку /, а затем применяя к результату подстановку э 4, т. е.
(а) = э (/ (а)).
Например, для й = ^ 4 з и *=(2 1 4 3) произведение 2 1 зУ Анало™чно- Н! 3 4 2
4 Порядок следования сомножителей—дело соглашения. У других авторов а/ обозначает иногда «сначала а, потом /»,
30
ГРУППЫ
[ГЛ. и
Закон ассоциативности
(гб) / = г (б?)
в общем случае произвольных отображений можно доказать так: применим обе части к произвольному объекту а; тогда
(«) I (а) = (/-5) (/ (а)) = г (б Ц (а))), г (б*) (а) = г (б* (а)) = г (в {I (а))),
т. е. в обоих случаях получается одно и то же.
Тождественной или единичной подстановкой является такое отображение /, которое каждый объект переводит в себя самого:
/ (а) = а.
Тождественная подстановка обладает, очевидно, характерным свойством единичного элемента группы: для каждой подстановки в имеет место равенство /б = б. Вместо I иногда пишут также 1.
Подстановкой, обратной к подстановке б, является такая подстановка, которая переводит в (а) в а, тогда как б действует наоборот. Если ее обозначить через б-1, то можно будет записать равенство
б—1б (а) = а,
а также равенство
Б_1Б = I.
Задача 1. Непустое множество 0 преобразований некоторого множества М является группой, если: а) вместе с двумя любыми преобразованиями оно содержит их произведение и б) вместе с каждым преобразованием содержит обратное к нему.
Задача 2. Повороты плоскости вокруг фиксированной точки Р образуют абелеву группу. Но если к этому добавить еще и отражения относительно всех прямых, проходящих через точку Р, то получится уже неабелева группа. Задача 3. Доказать, что элементы е, а с законом композиции
ее = е, еа — а, ае = а, аа — е
образуют (абелеву) группу.
Замечание. Закон композиции в группе можно представить с помощью «групповой таблицы»; ею служит таблица с двумя входами, в которую заносится произведение каждых двух элементов. Например, таблица для приведенной выше группы следующая:
е а
е е а
а а е
Задача 4. Составить таблицу для группы подстановок трех чисел.
Из доказанного следует, что аксиомы 1 — 4 выполнены для совокупности подстановок произвольного множества М. Следовательно, эти подстановки образуют группу. Для конечного мно-
ПОНЯТИЕ ГРУППЫ
31
жества М из п элементов группу подстановок называют также симметрической группой и обозначают через 0Л ').
Вернемся теперь к общей теории групп.
Вместо ab-c или а-bc пишут кратко abc.
Из аксиом 3 и 4 следует, что
а^аа~1 = еаг1 = а-1;
таким образом, если умножить последнее равенство слева на элемент, обратный к аг1, то получится
еаа-1 = е
или
СЮГ1 = е\
иными словами, каждый левый обратный элемент является и правым обратным. Таким же способом устанавливается, что обратным к аг1 служит а. Далее:
ае = аа~га =еа = а,
т. е. каждая левая единица является и правой единицей.
Отсюда следует возможность (двустороннего) деления:
5. Уравнение ах — b обладает решением в группе (у, как и уравнение уа = Ь, где а и b — произвольные элементы из ©.
А именно, этими решениями служат х — а^Ь и у — ba1, так как
а (а_16) = (аа~!) b = eb = b,
(Ьа~г) a — b (пДа) = be = b.
Столь же просто доказывается и однозначность деления:
6. Из ах = ах' и из ха = х'а следует, что х = х'.
Умножая обе части равенства ах = ах' на аг1, получаем х = х'. Точно так же доказывается вторая часть утверждения.
В частности, отсюда следует единственность единичного элемента (как решения уравнения ха— а) и единственность обратного элемента (как решения уравнения ха = е). Единичный элемент часто будет обозначаться через 1.
Возможность деления, указанная в утверждении 5, в качестве
аксиомы может заменить аксиомы 3 и 4. Действительно, предпо-
ложим, что 1, 2 и 5 выполнены и попробуем сначала доказать 3. Выберем произвольный элемент с и будем подразумевать под е решение уравнения хс — с. Тогда
ес = с.
х) Это название выбрано в соответствии с тем, что функции от х(, , хп,
остающиеся инвариантными при действии подстановок рассматриваемой группы, являются «симметрическими функциями*.
32
ГРУППЫ
[ГЛ. II
Для произвольного же а решим уравнение
сх = а.
Тогда
еа ----- есх = сх = а,
откуда следует 3. Аксиома 4 является непосредственным следствием разрешимости уравнения ха — е.
В соответствии с этим мы можем вместо 1, 2, 3, 4 равным образом использовать 1, 2 и 5 как аксиомы группы.
Если © — конечное множество, то условие 5 можно вывести из условия 6. Для этого нужно использовать не возможность деления, а (кроме аксиом 1 и 2) лишь его однозначность.
Доказательство. Пусть а —произвольный элемент. Сопоставим каждому элементу х элемент ах. Согласно условию 6 это сопоставление однозначно обратимо, т. е. оно взаимно однозначно отображает множество © на некоторое подмножество произведений ах. Поскольку © конечно, оно не может взаимно однозначно отображаться на собственное подмножество. Поэтому совокупность элементов ах должна совпадать с @, а это означает, что каждый элемент b записывается в виде b = ах, как утверждает первое из условий в 5. Точно так же доказывается разрешимость уравнений Ь = ха. Таким образом, 5 следует из 6.
