Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
л/+1.
то цепь обрывается после конечного числа членов.
Иначе говоря, имеет место
Теорема о цепях делителей. Вторая формулировка. Если аъ л2, а3, ... — бесконечная цепь делителей;
П1 — а111»
424
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ КОММУТАТИВНЫХ КОЛЕИ [ГЛ XV
то, начиная с некоторого п, все а* должны быть равны.
лп = j = ...
То, что теорема о цепях делителей следует из теоремы о базисе, можно установить так:
Пусть а1( а2, а3, ... — бесконечная цепь и а(?агц. Объединение v всех идеалов а; является некоторым идеалом, потому что если а и b лежат в » и, скажем, а принадлежит а„, a b принадлежит ат, то а и b лежат в а д., где N — наибольшее из чисел п
и т\ следовательно, a — b лежит в aA-, a потому и в ». Если же
а — произвольный элемент из V, взятый, например, из а„, то Ха лежит в а„, a потому ив».
Согласно условию идеал » имеет конечный базис (аи ..., аг). Каждый из элементов а; лежит в некотором идеале л„ . Если п — наибольшее из чисел н,-, то все аъ ..., аг лежат в одном идеале а„. Так как элементы из » линейно выражаются через аи ..., аг, то все элементы нз » лежат в а„, а отсюда следует, что
» = lT„ = lTn 1 1 = iln , 2 = ...
Наоборот, теорема о базисе следует из теоремы о цепях делителей. Действительно, пусть а — идеал и а1 — произвольный элемент из а. Если а, не порождает весь идеал, то в а существуют элементы, не принадлежащие (aj; пусть а2 — один из этих элементов. Тогда
(йі) а (а,, а2).
Если ?j и а2 все еще не порождают весь идеал а, то точно так же
отыскивается третий элемент а3 е а, не принадлежащий (аи а2),
и т. д. Получается цепь делителей
(%) с= (ои аг) с= (оь аг, а3) с= ...
Но она обрывается после конечного числа (скажем, после г) шагов:
{Р\у ех2, ..., аг) — я.
Следовательно, идел a имеет конечный базис.
Если теорема о целях делителей имеет место в кольце о, то она справедлива и в любом факторкольце с/а.
Доказательство. Любой идеал b в о/a является некоторым множеством классов вычетов. Если составить объединение этих классов вычетов, то получится некоторый идеал b в о. Наоборот, идеал b однозначно определяет идеал Ь:
b = b/a.
Любая цепь идеалов Ь, с Ь2 сг Ь:, сг ... в кольце о/a задает таким способом некоюрую цепь идеалов Ьх с Ь2 с Ьа с ... в кольце, о,
$ 1161
ПРОПЗВЕДГНИЯ И ЧАСТНЫЕ ИДЕАЛОВ
425
а так как последняя обрывается на одной из своих компонент, то первая цепь также конечна.
Тем самым доказано сформулированное в начале этого параграфа утверждение о том, что если теорема о базисе выполняется в кольце г, то она выполняется и в кольце о/а.
Теорема о цепях делителей имеет еще две формулировки, удобные для приложений:
Теорема о цепях делителей. Третья формулировка: условие максимальности. Если в кольце о имеет место теорема о цепях делителей, то в любом непустом множестве идеалов существует максимагьный идеал, т. е. такой идеал, который не содержится ни в одном другом идеале данного множества.
Доказательство. Фиксируем в каждом непустом множестве идеалов какой-нибудь идеал. Если бы в некотором множестве ЭЛ не было максимального идеала, то любой из идеалов этого множества содержался бы в одном из других идеалов этого же множества. Возьмем в ЭЛ фиксированный в нем с самого начала идеал ах, затем в множестве тех идеалов из ЭЛ, которые содержат Л] и не совпадают с лХ) возьмем фиксированный для этого множества идеал а2 и т. д. В результате получится бесконечная цепь
ах с ах с: а3 с ...,
что, согласно условию, невозможно.
Теорема о цепях делителей. Четвертая формулировка: принцип индукции по делителям. Если в кольце о имеет место теорема о цепях делителей и можно доказать наличие некоторого свойства Е у каждого идеала а (в частности, у единичного идеала) в предположении, что это верно для всех собственных делителей идеала а, то свойством Е обладает каждый идеал данного кольца.
Доказательство. Предположим, что некоторый идеал не обладает свойством Е. Тогда, в соответствии с третьей формулировкой теоремы о цепях делителей, существует максимальный идеал а, не обладающий свойством Е. В силу максимальности все собственные делители идеала а должны обладать свойством Е, а потому им должен обладать и идеал а. Получили противоречие.
§ 116. Произведения и частные идеалов
Как и в § 16, под наибольшим общим делителем (НОД) или суммой идеалов а, 1', ... мы подразумеваем идеал (а, Ь, ...), порожденный объединением (в теоретико-множественном смысле) идеалов а, Ь, ...; точно так же под наименьшим общим кратным (НОЮ
426
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ КОММУТАТИВНЫХ КОЛЕЦ [ГЛ XV
этих идеалов мы подразумеваем пересечение [а, Ь, ...] = а П Ь 0 • • • Обозначение, используемое для суммы идеалов, сохраняется и для идеала, порожденного несколькими идеалами и несколькими элементами; например,
(а, Ь) = (а, (6)).
Само собой разумеется, что (а, Ь) = (Ь, а), ((а, Ь), с) = (а, (Ь, с)) = = (а, Ь, с) и т. д. Далее,
((^1» ^2» • • *)» (^1* ^2* ‘ • *)) ~ (^11 ^2» • ? * 1 ^1» ^2» * ' *)
или, словами: базис наибольшего общего делителя получается объединением базисов отдельных идеалов.
Если элементы одного идеала а перемножить с элементами другого идеала Ь, то произведения аЬ в общем случае не составят
