Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Матрицы Pa? могут быть взяты уже над полем Р (0а, 0р), потому что над этим полем эквивалентны оба представления. Далее, матрицу Pa? можно выбрать так, чтобы каждый изоморфизм поля Р (0о> 0?). переводящий 0a, 0? В сопряженные 0Y, 06, переводил матрицу Pa? в матрицу PYa- Для достижения этой цели нужно лишь в каждом классе сопряженных пар выбрать одну пару а, ?, определить для нее матрицу Pa?, а остальные PYg получить из Рар применением соответствующих изоморфизмов.
Имеют место соотношения
Тем самым матрица Ра$Р$уРаУ перестановочна со всеми матрицами Аа любого абсолютно неприводимого представления и, следовательно, является кратным единичной матрицы Е\
(5)
Аа — Pa?^l?Pa?-
(6)
Аа — Рa?^l?Pa?1 — Рa?P$уАуР$уР“?* — Pa?P?yPay Aa.PayP$yPa$ ?
P a$P $yP <*y — Ca?yE, P<i$P$y ~ Ca?yPay'
(7)
§ П41
ГРУППА БРАУЭРА. СИСТЕМЫ ФАКТОРОВ
417
С помощью соотношений (7) оказывается определенной брауэ-рива система факторов {ca?Y}. Справедливы следующие свойства:
а) элементы сар7 принадлежат полю Р (0а, 0р, 0Y);
б) CapvCt'y? ” ^a??^?v?’
в) Ca?v = Ca-?'y-, если S — НЗОМОрфиЗМ ПОЛЯ Р (0а, 0?, 8Д, Пере-ВОДЯЩИЙ Оц, 0?, 0Y В 0а', 0?-, 0Y'.
Свойство а) немедленно следует из определения элементов CapY, свойство б) — пз ассоциативности, имеющей место для матриц /Др, и, наконец, свойство в) вытекает из поведения матриц Pa? при изоморфизмах S.
Если Рар заменить на ka$P„?, где элементы поля ka$ удовлетворяют тем же условиям сонряженности, что и матрицы Pa?, то система capY перейдет в ассоциированную систему факторов
, ^a?^?v
Ca?y j Ca?Y. ^oj
Иа\
Если, с другой стороны, заменить представление а \—? А на эквивалентное представление а >—»фЛСД1, то матрицы Ра перейдут в матрицы QaPaQa', непосредственно проверяется, что при этом система факторов cU?Y не меняется. Следовательно, система факторов определена однозначно с точностью до ассоциированности заданием алгебры К, и поля А.
Всю теорию можно построить, рассматривая только нётеровы или только брауэровы системы факторов. Но доказательства получаются проще и нагляднее, если использовать оба вида систем факторов, доказав их равносильность. Действительно, одни свойства легче доказывать для нётеровых, а другие —для брауэровых систем факторов. Мы начнем с основных свойств брауэровых систем факторов.
Если К, — полное матричное кольцо над основным полем Р, т. е. КГ = РГ, то можно взять Рар равным единичной матрице Е. Тогда все ca?Y равны единице и система факторов алгебры, распа-дающейся уже над основным полем, ассоциирована с единичной системой факторов ca?Y = 1.
Найдем систему факторов для прямого произведения KaxAs. Если а I—> А — неприводимое представление алгебры К над телом Ли b I—*• В — неприводимое представление алгебры As над тем же телом, то получается представление произведения систем KrxAiS, при котором ab переходит в кронекерсво произведение Ах В (§ 109). То, что это представление абсолютно неприводимо, легко увидеть, вычислив его степень. Действительно, если абсолютно неприводимое представление алгебры имеет степень п, а алгебры Л^ — степень т, то КЛ (согласно, например, теореме Бернсайда) имеет ранг п2, а Л5 —ранг т2, так что КгхЛ5 имеет ранг п2т2, в то время как степень произведения представлений равна тп, т. е. совпадает со степенью абсолютно неприводимого представления алгебры К,- хЛ5.
418
ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИИ ГРУПП И АЛГЕБР
[ГЛ XIV
Теперь мы можем вычислить систему факторов произведения представлений. Из Aa = Pa'?A?Pa? И 5a = Qa???Qa? следует, что
А а X Ва = (Яар X Qa?) 1 (A? х B?) (Р a? X Qa?)i
поэтому Pa?X-Qa? — трансформирующие матрицы произведения представлений. Точно так же из
^a?^?y = Ca?yP<ху И Qa?Q?v = da?yQay
следует, ЧТО
(Ba? X Qa?) (P?-y X Q?Y) = Ca?yd-a?y (Pay X Qay)‘
Итак, {ca?yda?y} — система факторов произведения алгебр К^хА^.
В случае КхРг = Кг факторы da?y равны единице, поэтому матричное кольцо К,- имеет ту же систему факторов, что и тело К. Тем самым каждому брауэрову классу алгебр соответствует однозначно (с точностью до ассоциированной) определенная система факторов.
Объединяя все это, получаем следующее предложение: каждому элементу группы Брауэра классов алгебр с полем разложения А соответствует система факторов {саруЬ определенная однозначно с точностью до ассоциированности, причем единичному элементу группы соответствует единичная система факторов, а произведению элементов — произведение систем.
Выясним теперь, как меняется при расширении поля разложения брауэрова система факторов. Пусть А'= Р (0') — конечное сепарабельное расширение поля А = Р (0). Каждый изоморфизм 0' I—? 0а' ПОЛЯ А' индуцирует И некоторый изоморфизм 0 I—? ва поля А, так что каждому индексу а' сопоставляется некоторый индекс а. При переходе к полю А' рассматриваемое представление а ?—» А алгебры К,- над А остается неизменным. Но тогда сопряженные представления Аа также остаются неизменными, т. е. А'а' = Аа, если номеру а' соответствует номер а. Соответственно, для трансформирующих матриц Pa? это дает следующее правило: если номерам а', ?' сопоставлены номера а, ?, то P„>?' = Ра, ?-Наконец, для системы факторов получается следующее: с«'ру = ca?v, если номерам а', ?', у' сопоставлены номера а, ?, у, т. е. если изоморфизмы 0' I—? 0а', 0' '—? 0?', 0''—? ву поля А' индуцируют изоморфизмы 6 I—»- 0а, 61—*? 0р, 0 I—? 6Y поля А.
