Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
На основании этого правила можно совершенно определенным образом перейти от произвольного сепарабельного поля разложения А к содержащему его нормальному полю 2. Изоморфизмы 0 >—*• 0а поля 2 являются тогда элементами S, Т, ... группы Галуа: 6a = 6s, 0? — 0Г и т. д. Следовательно, в этом случае можно использовать элементы S, Т, R в качестве индексов вместо использовавшихся до сих пор a, ?, у и писать cs, т. r вместо ca?Y. Свойство в) в этих новых обозначениях выглядит так:
§ 114]
ГРУППА БРАУЭРА СИСТЕМЫ ФАКТОРОВ
419
Теперь можно осуществить переход к нётеровым системам факторов. Для заданного с самого начала скрещенного произведения Кг вычислим брауэрову систему факторов и покажем, что она совпадает с точностью до обозначений с нётеровой системой.
Мы получим неприводимое представление алгебры Кг над полем 2, если рассмотрим К,- как модуль представления. Базисными элементами алгебры Кг как правого 2-модуля являются в точности элементы и5. Матрица, представляющая элемент а — = (достаточно рассмотреть лишь эти элементы, потому что остальные являются их суммами), получается так: этот элемент умножается на все базисные элементы ит, а потом произведения разлагаются по элементам ит:
(п5Р) ит = и$и,т§т = и$т§5, гРг-
Следовательно, представляющая матрица А имеет в столбце Т и строке БТ элемент 65, т$т, а на всех прочих мзетах этого столбца нули. Тем самым, сопряженная матрица Ак имеет в столбце Т и строке 5 Т элемент
Найдем теперь матрицу Д],я> трансформирующую А в Ан:
= (10)
В качестве Рь % мы возьмем матрицу, которая в столбце У и строке УД имеет элемент бу, я, а на всех остальных местах этого столбца нули. Тогда соотношение (10) выполняется, потому что в левой части в столбце Т и строке БТЯ стоит элемент б5> гяР^бг, а в правой части на том же месте стоит что, сог-
ласно (13) из § 94, то же самое. Следовательно, матрица Р1|Д найдена. Остальные Р5г т получаются (в соответствии с принятым при определении матриц Дар соглашением) применением автоморфизмов 5 к Ри
Дц я = Рб, №?
Соотношение Р5, гРт, я = ся, г, яД$, я нужно установить лишь для случая 5 = 1, потому что применением автоморфизма 5 индекс 1 всегда можно превратить в индекс 5; ср. (9). Следовательно, мы должны рассмотреть лишь вопрос о равенстве
«Дщ Т[? = О, я, 7Т?Д 1, гя
или о равенстве
Дк яДц т = с1, я, гяД 1, тн-Матрица, стоящая слева, имеет на пересечении столбца 5 и строки 5ГД элемент
6ат, я^, т = 65, тцЬт, я,
420
ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУПП И АЛГЕБР
[ГЛ XIV
а матрица, стоящая справа, — элемент г^, тк. Следовательно, нужно положить
с1, к. гд = б г, /?• (11)
На основании формулы (11) нётерова система факторов оказывается известной, как только задана брауэрова система. Но нётеровой системой факторов структура алгебры Кг вполне определяется. Мы получили следующее утверждение:
Полем разложения А и системой факторов {сарт} брауэров класс алгебр определяется однозначно.
На основе проведенных выше рассуждений о системе факторов произведения алгебр мы построили некоторый гомоморфизм из группы Брауэра класссв алгебр с фиксированным полем разложения А в группу классов ассоциированных с ними систем факторов. В силу доказанной однозначности этот гомоморфизм является изоморфизмом.
Легко понять, что соотношение ассоциативности (13) из § 94 является следствием требований а), б), в), наложенных на элементы с«ру. Следовательно, каждой системе элементов са§у данного поля, подчиненных требованиям а), б), в), соответствует некоторый класс алгебр, представляемый скрещенным произведением с системой факторов 6$, ь определенной равенством (11).
С помощью равенства (11) основные свойства брауэровых систем факторов переносятся на нётеровы. В частности, именно так получается изоморфизм группы классов алгебр с фиксированным нормальным полем разложения и группы классов ассоциированных с этими алгебрами (нётеровых) систем факторов. Отметим специально следующее утверждение:
Скрещенное произведение К,- является полным матричным кольцом над основным полем Р тогда и только тогда, когда система факторов б^, т этой алгебры ассоциирована с единичной системой:
Задача 1. При любом расширении основного поля Р до поля Л тело К переходит в простую алгебру КЛ- Доказать, что при этом брауэрова система факторов следующим образом «укорачивается»: вложим поля А и Л в какое-нибудь общее для них расширение и найдем элементы 0а, сопряженные с 6 относительно нового основного поля Л; факторы сар-у, соответствующие этим элементам 0ц, сохранятся, а остальные окажутся отброшенными. На языке нётеровых систем факторов это означает, что сохраняются лишь те 65 Т, для которых 5 и Т принадлежат определенной (какой именно?) подгруппе группы Галуа
Задача 2. С помощью задачи 1 ответить на следующий вопрос: какие под-поля поля 2 являются полями разложения алгебры с системо і факторов б5 т7 Задача 3. Две циклические алгебры (6, 2, 5) и (е, 2, 5) изоморфны тогда и только тогда, когда б и є отличаются лишь множителем, являющимся нормой. В частности, (б, 2, 5) тогда и только тогда является полным матричным кольцом над Р, когда б является нормой некоторого элемента из 2.
