Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
(а + Ь) у = ар + Ьу,
(аЬ) р = а (6р).
Последнее свойство в случае Ь = е дает
ар = а (ер).
Эндоморфизм р совпадает, следовательно, с правым умножением на элемент й = еу кольца о. Обратно, каждое такое правое умножение является эндоморфизмом:
(а + Ь) д, = ай + Ьй,
(аЬ) д. = а (Ьй).
Таким образом, эндоморфизмы р однозначно соответствуют элементам с1 кольца с. При этом сумме соответствует сумма, а произведению — произведение. Мы получили утверждение:
Если кольцо г с правой единицей рассматривать как левый модуль над самим собой, то кольцо правых эндоморфизмов этого модуля изоморфно кольцу о.
В качестве приложения этой теоремы определим строение полупростых колец с условием минимальности для левых идеалов. Каждое такое кольцо согласно § 98 (теорема 11) является прямой суммой простых левых идеалов
о = 1х -Г ... -Г 1л. (1)
Кольцо эндоморфизмов такой прямой суммы согласно § 101 является прямой суммой полных матричных колец над телами. С другой стороны, согласно § 98 кольцо г обладает единицей. Поэтому кольцо эндоморфизмов изоморфно самому кольцу о. Тем самым получается
372
АЛГЕБРЫ
[ГЛ. ХШ
Структурная теорема для полупростых колец. Любое полупростов кольцо о с условием минимальности для левых идеалов изоморфно прямой сумме полных матричных колец над телами.
Если кольцо о простое, то оно может быть прямой суммой только одного матричного кольца. Тем самым получается
Структурная теорема для простых колец. Любое простое кольцо с единицей, удовлетворяющее условию минимальности для левых идеалов, изоморфно полному матричному кольцу К„ над некоторым телом К.
Порядок п в этом утверждении равен количеству левых идеалов в разложении (1). Так как кольцо с простое, все идеалы Гг попарно изоморфны. Тело К является телом эндоморфизмов одного из левых идеалов [г.
Если, в частности, о —простая алгебра над некоторым полем Р, то элементы Р поля Р порождают эндоморфизмы х>—* х$ левых идалов Г,-, так что Р можно вложить в тело эндоморфизмов К. Далее, для каждого эндоморфизма Я из К имеет место равенство
(хр) А. = (хА.) р,
и, следовательно, р перестановочен с каждым элементом Я тела К. Это означает, что Р содержится в центре тела К. Так как все матричное кольцо К„ имеет конечный ранг над Р, то тело К тоже имеет конечную степень над Р, т. е. К — алгебра с делением над полем Р. Мы получили, таким образом, следующую теорему:
Теорема Веддерберна. Каждая простая алгебра с единицей изоморфна полному матричному кольцу над алгеброй с делением.
Всякий раз, когда в будущем речь зайдет о простой алгебре, будет подразумеваться простая алгебра с единицей, т. е. некоторое полное матричное кольцо К„ над телом К. Кратные ер единицы будут отождествляться с элементами р поля Р.
Задача 1. Прямая сумма полных матричных колец над телами полу-11 роста.
Задача 2. Полное матричное кольцо над телом примитивно и просто.
Задача 3. Коммутативное полупростое кольцо с условием минимальности является прямой суммой полей.
§ 103. Поведение алгебр при расширении основного поля
Пусть 'Л — полу проста я алгебра над основным полем Р. Мы собираемся выяснить, как ведет себя 'Л при расширении основного поля до некоторого поля Л, какие свойства алгебры 'Л сохраняются, а какие могут утратиться. Исследование будет вестись так: сначала ?( будет полем, затем — телом, затем — простой
§ 103]
ПОВЕДЕНИЕ АЛГЕБР ПРИ РАСШИРЕНИИ ПОЛЯ
373
алгеброй и, наконец, — полупростой алгеброй, причем в каждом последующем случае будет использоваться предыдущий. Все рассматриваемые кольца должны обладать единицей.
1. Если 'Л — сепарабельное конечное расширение поля Р, то алгебра Лл не имеет радикала, каким бы ни было поле Л; наоборот, если расширение Л несепарабельно, то при подходящем выборе поля А в алгебре Лл появляется ненулевой радикал.
Доказательство. Если расширение Л сепарабельно, 6 — примитивный элемент расширения Л (§ 46) и ф (г) — неразложимый многочлен, обращающийся в нуль на 6, то н соответствии с § 39, обозначая через п степень многочлена ф (г), имеем
Л = Р (6) = Р + 6Р + ... + 0"^ ^ Р (г)/(ф (Д), а потому при расширении основного поля получается Лл = Л + ел + ... + 0»-^ ^ Л [2]/(ф (г)).
Так как ф(г) не имеет кратных множителей и в Л [г], то не существует многочлена /(г), какая-либо степень которого делилась бы на ф (г), а сам он на ф (г) не делился, т. е. в фактор-кольце Л [г]/(ф (г)) не существует нильпотентных элементов, отличных от нуля. Согласно § 98 (теорема 8) радикал алгебры Лл состоит из нильпотентных элементов, о которых только что упоминалось. Так как, кроме нуля, таковых нет, радикал равен нулю, т. е. алгебра ЛЛ полупроста.
Если расширение 'Л несепарабельно и 6 — какой-нибудь несепарабельный элемент из Л, то Л обладает подполем Р (0), а Лл— подкольцом Л (8), которое, как и выше, изоморфно факторкольцу Л[г]/(ф (Д). При подходящем выборе расширения Л многочлен Ф (г) имеет кратные множители в Л, и в кольце Л [г] существует многочлен / (г), который сам не делится на ф (г), но некоторая степень его делится на ф(г). Тем самым в кольце Л[г]/(ф(г)) существует ненулевой нильпотентный элемент, а потому таковой есть и в Л (0); следовательно, этот нильпотентный элемент порождает в 'ЛЛ некоторый нильидеал, потому что в коммутативном кольце любой нильпотентный элемент порождает нильидеал. Теорема доказана.
