Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
ние всех модулярных максимальных левых или правых идеалов, а также как объединение всех звездно регулярных левых или правых идеалов.
Левый или правый идеал называется нильидеалом, если все его элементы нильпотентны. Из теоремы 4 непосредственно следует, что каждый нильидеал звездно регулярен. Поэтому из теоремы 5 получается
Теорема 6. Все нилылдеалы содержатся в радикале.
В частности, все нильпотентные идеалы содержатся в 31. Их объединение является малым радикалом 9с. Следовательно, имеет место
Теорема 7. Малый радикал 9? содержится в большом радикале 31.
Задача 1. Ни левый, ни правый единичные элементы кольца о не могут быть звездно регулярными и потому ни один из них не содержится в радикале Э{.
§ 98. Кольца с условием минимальности
Начиная с этого места, будем предполагать, что в кольце о выполнено условие минимальности для левых идеалов. При этом предположении мы прежде всего докажем следующую теорему: Теорема 8. Радикал 31 нильпотентен.
358
АЛГЕБРЫ
[ГЛ XIII
Доказательство. В последовательности степеней 91т существует минимальный идеал 91". Так как 912" содержится в 91", имеет место равенство
Ш2п = 91",
или, если положить 91" = ©, — равенство ©2 = @. Покажем, что © = {0}.
Если ©> =/={()}, то рассмотрим множество всех левых идеалов 3 со свойствами:
Зе=@; (1)
Ш=?Ч0}. (2)
Это множество непусто, потому что в него входит левый идеал ©. Следовательно, существует минимальный идеал Зт со свойствами (1) и (2); в силу (2) существует такой элемент fr из Зт, что ©fr=/={0}. Левый идеал ©fr лежит в Зя и обладает свойствами (1) и (2); следовательно, ©fr = 3m- Поэтому в ©' существует такой элемент г, что zfr = fr. Так как z принадлежит 91, то в силу теоремы 5 он обладает левым звездно обратным г':
z + z'-z'z = 0. (3)
Умножим это равенство справа на fr; тогда получится, что Ь — 0, а это противоречит предположению ©fr =/={()}. Тем самым доказано, что © = {0}, а потому и 91"= {0}.
Малый радикал 9J содержит все нильпотентные двусторонние идеалы; поэтому 91^91. В силу теоремы 7 имеет место обратное включение: 9Js91. Поэтому справедлива
Теорема 9. Малый радикал 91 равен большому радикалу 91.
Так как в силу теоремы 6 все нильидеалы содержатся в 9?,
имеет место
Теорема 10. Все нильидеалы нильпотентны.
Согласно теореме 2 кольцо классов вычетов о/91 полупросто. Если в о выполняется условие минимальности для левых идеалов, то, конечно, оно выполняется и в о/91. Рассмотрим теперь в общем виде вопрос о строении полупростых колец с условием минимальности для левых или правых идеалов.
Теорема 11. Каждое полупростое кольцо о с уловием минимальности для левых идеалов является прямой суммой простых левых идеалов
Доказательство. Радикал кольца о, т. е. его нулевой идеал, есть, по определению, пересечение модулярных максимальных левых идеалов 8. Покажем сначала, что нулевой идеал является пересечением даже конечного числа упомянутых идеалов 8.
Рассмотрим множество всех пересечений конечных множеств модулярных максимальных левых идеалов 8. В этом множестве
« 98] КОЛЬЦА С УСЛОВИЕМ МИНИМАЛЬНОСТИ 359
существует минимальный идеал
Г = 8гП ••• П«т.
Если бы было 1 ф {0}, то существовал бы идеал 8от+1, пересечение которого с I было бы подмножеством в (. Но это противоречит свойству минимальности идеала [. Следовательно, I — {0} и
{0} = 81П ... П2т- (4)
Если в этом представлении в виде пересечения участвует
какой-либо идеал ?г, содержащий пересечение остальных идеалов, то его можно удалить из записи (4). Удалим из (4) все такие лишние идеалы ?;, в результате чего останется несократимое представление
{0} = 81П ... П8», (5)
в котором ни один из идеалов не содержит пересечение I;
остальных идеалов. Сумма (?,?, (г) является в таком случае идеалом, собственно содержащим идеал а так как максимален, то она равна о:
(8/, Г/) = р- (6)
Равенства (5) и (6) утверждают, что идеал {0} является прямым пересечением максимальных идеалов В силу § 92 отсюда следует, что с —прямая сумма левых идеалов 1*:
с’ = !; + • • ? + !«• (?)
В соответствии с § 92 для каждого I имеет место операторный изоморфизм
(8)
а так как модуль классов вычетов о/^ прост, то идеалы являются простыми. Тем самым все доказано.
Согласно (7) каждый элемент а кольца с представляется единственным образом в виде суммы
а = Й! + . ,. + ап (йг еДг). (9)
В равенстве (9) можно выделить одно слагаемое а1 и вместо (9) написать
й = «; + &; (й; е Ь( €Е I*;). (10)
Элемент а1 называется \гкомпонентой элемента а. Отображение й(—*й; является операторным гомоморфизмом, ядро которого равно в точности 8г. Два элемента а и а' тогда и только тогда сравнимы по шос! 8г, когда совпадают их [(-компоненты.
Элемент кольца с со свойствами с2 = с называется идемпо-тентным.
Теорема 12. В обозначениях и при предположениях теоремы 11 выполняются следующие утверждения-.
360 АЛГЕБРЫ [ГЛ. ХШ
A. Каждый идеал (, порождается некоторым идемпотентным элементом ер.
I , = «?,. ё\ = et.
Б. Элементы е, аннулируют друг друга:
e,eft = 0 для (11)
B. \гкомпонента а, произвольного элемента а получается умножением элемента а на ер
