Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Если о —некоторая алгебра над полем Р, то от представления дополнительно требуется, чтобы основное поле Р принадлежало полю К и чтобы из соответствия a i—»- А для любого р из Р следовало соответствие ар Ар. Для модуля представления ЭЛ это означает, что
(аР) и = {au) р для aeu, Р е Р, и е= SOI.
Основная задача состоит в отыскании всех представлений заданной группы или алгебры. При этом задача о представлениях для конечных групп немедленно сводится к аналогичной задаче для алгебр: нужно лишь в соответствии с § 93 построить из группы групповое кольцо
о — ахК .+алК,
§ 105]
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ АЛГЕБР
379
базисными элементами аъ ..., ал которого будут элементы группы О. Если а1!—»? Л/ — представление группы, то
— представление группового кольца о, в чем легко убедиться. Обратно, любое представление группового кольца о над полем К сопоставляет, в частности, и базисным элементам аи ..., ан некоторые линейные преобразования, а они определяют представление самой группы. Мы получили предложение:
Каждое представление конечной группы над полем К задается некоторым представлением группового кольца.
В теории представлений алгебр, как правило, предполагается, что поле представления К совпадает с основным полем Р. Общий случай можно свести к этому частному, расширив алгебру с до алгебры оц. Если в исходном представлении базисным элементам аи ..., ал алгебры о соответствовали матрицы Аь ..., Лл, то произвольному элементу У] а$1 (Р; <= К) алгебры можно сопоставить матрицу ^ А$1 и тем самым продолжить представление алгебры о до представления алгебры 0ц. Тем самым каждое представление алгебры о над полем К задает некоторое представление алгебры Он-
Дальнейшее ограничение постановкй задачи получится в случае, когда кольцо о обладает единицей. Здесь мы всегда можем считать, что единица 1 является и единичным оператором на модуле представления, т. е. в данном представлении этому элементу соответствует единичная матрица. В противном случае, как на это было указано в § 84, модуль представления является прямой суммой 9Л0 + 3.^!, где ЭЛ0 аннулируется кольцом о, а на 9)^ единица является единичным оператором. Таким образом, представление распадается на две части, первая из которых состоит из нулевых матриц и поэтому неинтересна, а вторая является представлением, в котором единица переходит в единичный оператор.
Особенно важным представлением алгебры является регулярное представление, которое получается, когда сама алгебра о берется в качестве модуля представления, на который о действует слева, а Р—справа. Подмодулями здесь служат левые идеалы кольца о. Регулярное представление вполне приводимо, если вполне приводимым слева является само кольцо.
§ 105. Представления алгебр
В § 100 (теорема 18) мы видели, что радикал 91 алгебры с представляется нулем в любом неприводимом представлении этой алгебры. То же самое верно, конечно, и для вполне приводимого представления, потому что оно складывается из неприводимых
380
ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУПП И АЛГЕБР
[ГЛ. XIV
представлений. Таким образом, любое вполне приводимое представление алгебры о можно считать представлением полупростой алгебры о/ЭЯ.
Следующая теорема указывает, как получаются представления полупростых алгебр или, более общо, полупростых колец с условием минимальности для левых идеалов. Согласно § 98 каждое такое кольцо о обладает единичным элементом и вполне приводимо слева, т. е. является прямой суммой простых левых идеалов. Каждому представлению кольца о соответствует некоторый р-мо-дуль ЭЛ. Имеет место следующая
Основная теорема. Пусть о —вполне приводимое слева кольцо с единицей и ЭЛ — некоторый р-модуль с конечным базисом. Единичный элемент кольца г считается единичным оператором на ЭЛ. Тогда ЭЛ является прямой суммой простых с-моду лей. Каждый из них изоморфен некоторому простому левому идеалу в р.
Доказательство. Согласно предположению кольцо о является прямой суммой простых левых идеалов:
р = (г Т- • • • + К- (1)
Далее, по условию модуль ЭЛ обладает конечным р-базисом (ии ..., и8). Отсюда
ЭЛ = (рщ, ..., т3). (2)
Подставляя (1) в (2), получим
ЭЛ = (..., Г,и*. ...). (3)
Из суммы в правой части равенства (3) можно удалить модули равные нулю. Если же 1{и/{ Ф {0}, то сопоставление х \—л:«* определяет операторный изоморфизм из I,- на 1{ик. Отличные от нуля модули [щ* изоморфны, таким образом, модулю [г, а потому являются простыми. Если одно из слагаемых (щ* содержится в сумме остальных, то его можно удалить. Продолжать в таком духе можно до тех пор, пока каждый из оставшихся членов [щ* не будет иметь нулевое пересечение с суммой остальных. В таком случае сумма будет прямой.
Разумеется, основная теорема остается верной и тогда, когда кольцу о и модулю ЭЛ придана область правых мультипликаторов й со следующими свойствами:
(аи) р =а («Р) = (аР) и (Рей).
В применениях к теории представлений алгебр й является полем коэффициентов Р алгебры о и одновременно полем представления. Если ЭЛ — векторное пространство конечной размерности над Р, то 3)1 автоматически имеет конечный о-базис, что и требуется в основной теореме.
