Алиса в стране смекалки - Смаллиан Р.М.
Скачать (прямая ссылка):
К оценке истинности высказывания (2) можно подойти и с другой стороны. Высказывание (2) ложно лишь в том случае, если Конфуций родился в Техасе, а я не Дракула. Но поскольку Конфуций родился не в Техасе, то не может быть верно, что Конфуций родился в Техасе и что я не Дракула. Иначе говоря, высказывание (2) не может быть ложным. Следовательно, оно должно быть истинным.
Рассмотрим теперь любые два высказывания Р, 0. Составим из них сложное высказывание.
Если Р, то 0. (3)
Будем обозначать его Р => 0 (эту сокращенную запись принято читать либо как "если Р, то 0", либо как "из Р следует 0", либо "Р влечет за собой 0", либо даже Р имплицирует 0"). Слово "следует" (и его синонимы) не слишком удачно, но оно привилось в литературе. Понимать его, как мы видели, надлежит лишь в совершенно определенном, хотя, быть может, и несколько необычном смысле: не верно, что Р истинно и 0
ложно. (В книге было "не верно, что Р ложно и 0 истинно", а это неправильно. - SStas)
Итак, относительно высказывания Р => 0 мы располагаем следующей информацией.
Факт 1. Если Р ложно, то Р => 0 автоматически истинно.
Факт 2. Если 0 истинно, то Р => 0 автоматически истинно. Факт 3. Высказывание Р => 0 может быть ложно в том и только в том случае, если Р истинно, а 0 ложно.
Факт 1 иногда формулируют иначе: "Из ложного высказывания следует что угодно". Такое утверждение вызывает у некоторых философов самые решительные возражения (см., в частности, задачу 244 из гл. 14). Факт 2 иногда формулируют так: "Истинное высказывание следует
из чего угодно".
Таблица истинности
Если заданы два высказывания Р, 0, то их значения истинности могут распределяться четырьмя возможными способами: 1) Р и 0 истинны; 2) Р истинно, 0 ложно; 3) Р
Ше:Шу4 _Ьиблиотека_КОЛХОЗ/ко1хо3^с05/М_МАТНЕМ/МРОР_РОР/8.511Ш1Мт (3о?11)19.01.2004 16:56:24
"Как же называется эта книга?" - 8
ложно, 0 истинно; 4) Р и 0 ложны.
В каждом конкретном случае мы должны иметь дело с одним и только с одним из этих четырех вариантов. Рассмотрим теперь высказывание Р => 0. Можно ли определить, в каких случаях оно истинно и в каких - ложно? Можно, если воспользоваться следующими соображениями.
Случай 1: Р и 0 истинны. Так как 0 истинно, то Р => 0 истинно (факт 2).
Случай 2: Р истинно, 0 ложно. Тогда Р => 0 ложно (факт 3). Случай 3: Р ложно, 0 истинно. Тогда Р => 0 истинно (факт 1 или факт 2).
Случай 4: Р ложно, 0 ложно. Тогда Р => 0 истинно (факт 1).
Все четыре случая мы сведем в одну таблицу, называемую таблицей истинности для импликации:
(В "нормальной" таблице истинности вместо букв И и Л используют сокращения 0 - ложно и 1 - истинно - SStas)
Три буквы И, И, И (истинно, истинно, истинно) в первой строке означают, что когда Р истинно и 0 истинно, высказывание Р => 0 истинно. Буквы И, Л, Л во второй строке означают, что если Р истинно, 0 ложно, то Р => 0 истинно, а буквы Л, Л, И в четвертой строке - что если Р ложно и 0 ложно, то Р => 0 истинно.
Заметим, что Р => 0 истинно в трех из четырех случаев и ложно только во втором случае.
Еще одно свойство импликации. Импликация обладает еще одним важным свойством. Чтобы доказать истинность высказывания "Если Р, то 0", достаточно, приняв высказывание Р за посылку, убедиться в том, что из него следует высказывание 0. Иначе говоря, если из посылки Р следует заключение 0, то высказывание "Если , то 0" истинно.
В дальнейшем мы будем ссылаться на это свойство импликации, как на факт 4.
Ше:Шу4 _Ьиблиотека_КОЛХОЗ/ко1хо3^с05/М_МАТНЕМ/МРОР_РОР/8.511Ш1Мт (4о?11)19.01.2004 16:56:24
109. О каждом из двух людей А и В известно, что он либо рыцарь, либо лжец. Предположим, что А высказывает следующее утверждение: "Если я рыцарь, то В - рыцарь".
Можно ли определить, кто такие А и В: кто из них рыцарь и кто лжец? Ответ
110. У A спрашивают: "Вы рыцарь?” Тот отвечает: "Если я рыцарь, то съем собственную шляпу".
Докажите, что A придется съесть свою шляпу. Ответ
111. A утверждает: "Если я рыцарь, то дважды два -четыре". Кто такой A: рыцарь или лжец? Ответ
>
112. А заявляет: "Если я рыцарь, то дважды два - пять". Кто, по-вашему, А: рыцарь или лжец? Ответ
113. Относительно А и В известно, что каждый из них либо рыцарь, либо лжец. А заявляет: "Если В - рыцарь, то я лжец". Кто А и кто В? Ответ
114. Двух человек X и Y судят за участие в ограблении, А и
В выступают на суде в качестве свидетелей. Относительно А
и В известно, что каждый из них либо рыцарь, либо лжец. В ходе судебного заседания свидетели выступили со следующими заявлениями:
А: Если X виновен, то Y виновен.
В: Либо X не виновен, либо Y виновен.
Можно ли утверждать, что А и В однотипны? (Напомним, что двух обитателей острова рыцарей и лжецов мы называем однотипными, если они оба рыцари либо оба лжецы.) Ответ
file:///G\/4 _Su6HUomeKa_^XO3/kolxo3-disc05/M_MATHEM/MPOP_POP/8.shtmLhtm (5of11)19.01.2004 16:56:24
"Как же называется эта книга?" - 8
115. У трех обитателей А, В и С острова рыцарей и лжецов взяли интервью, в ходе которого они высказали следующие утверждения:
А: В - рыцарь.
В: Если А - рыцарь, то С - рыцарь.
