Вероятность: основные понятия, структура, методы. - Скороход A.B.

2*

19

то нас интересует, какие достоверные выводы можно сделать
из случайных посылок.

3.3. Асимптотическое поведение вероятностных систем. Мно-
гие физические, технические, биологические объекты можно
рассматривать как случайно эволюционирующие системы. Та-
кая система находится в одном из возможных состояний (мно-
жество всех возможных состояний часто можно считать конеч-
ным) и с течением времени система меняет свои состояния слу-
чайно. Одна из важных задач теории вероятностей —■ изучение
асимптотического поведения таких систем на неограниченных
промежутках времени. Приведем один из возможных резуль-
татов, чтобы продемонстрировать возникающие здесь задачи.
Обозначим через Tt(E) суммарное время, которое провела сис-
тема в состоянии Е на промежутке времени [0,/]. Тогда су-
ществует с вероятностью 1 неслучайный предел

lim l7Tt(E) = n(E),

при этом я(Е) есть вероятность того, что по истечении доста-
точно большого времени система находится в состоянии Е, точ-
нее, вероятность того, что система находится в состоянии Е в
моменты времени t, стремится к п(Е) при t-+oo. Это утвержде-
ние выполняется, естественно, при некоторых предположениях
о рассматриваемой системе; сейчас мы не можем их сформули-
ровать, так как еще не введены необходимые понятия. Такого
рода утверждения объединяются общим названием эргодичес-
кие теоремы. Как и законы больших чисел, они дают досто-
верные выводы из случайных предпосылок. Можно интересо-
ваться более точным поведением времени пребывания в дан-
ном состоянии, например исследовать поведение разности

Yf Tt(E)—л(Е)], умноженной на подходящую возрастающую

функцию t (сама разность стремится к нулю). При весьма
широких предположениях указанная разность, умноженная на
yt, ведет себя примерно одинаково для всех систем. Здесь про-
является второй важнейший (после закона больших чисел)
закон теории вероятностей, который можно назвать законом
нормальности флуктуации. Он справедлив и для частот и
утверждает, что отклонение частоты от вероятности после
умножения на подходящую постоянную ведет себя одинаково
во всех случаях (точно это выражается словами: «имеет нор-
мальное распределение»; что это означает будет сказано даль-
ше). К практически важным задачам изучения вероятностных
систем относится «предсказание» их поведения по наблюдени-
ям за их поведением в прошлом.

3.4. Вероятностный анализ. Отталкиваясь от понятия слу-
чайного события, можно «ослучайнить» любой математичес-
кий объект. Такое ослучайнивание широко используется и

изучается в теории вероятностей. При этом новые объекты не
плоды праздных умствований, они возникают по существу, с
ними связаны нетривиальные содержательные теории, находя-
щие широкое применение в естествознании и технике. Первый
объект такого рода — «случайное число» (или по принятой
терминологии «случайная величина»). Такие величины появля-
ются в экспериментах, в которых измеряются одна или не-
сколько характеристик результатов эксперимента. Естественна
после этого рассматривать «арифметику» таких величин, а за-
тем распространить на них понятия математического анализа:
предельный переход, функциональную зависимость и т. д. Так
мы приходим к понятию случайной функции, случайного опе-
ратора, случайного отображения, стохастического интеграла,
стохастического дифференциального уравнения и т. д. Это
сравнительно новая, довольно интенсивно развивающаяся часть
теории вероятностей, задачи, возникающие здесь, несмотря на
вероятностную окраску, имеют часто аналогии с задачами
обычного анализа.

Глава 2
ВЕРОЯТНОСТНОЕ ПРОСТРАНСТВО

Вероятностное пространство — основной объект изучения в
теории вероятностей, это формализация понятия случайного эк-
сперимента. Вероятностное пространство задается тремя объ-
ектами: пространством элементарных событий й, а-алгеброй зФ
подмножеств £2, называемых событиями, счетно-аддитивной не-
отрицательной нормированной функцией множества Р(А)Г
определенной на которая называется вероятностью. Веро-
ятностное пространство, определяемое указанной тройкой,
обозначается (£2, .5$, Р).

§ 1. Конечное вероятностное пространство

Это вероятностное пространство, у которого пространство
элементарных событий — конечное множество, а $Ф состоит из
всех подмножеств £}. Вероятность определяется своими значе-
ниями на элементарных событиях.

1.1. Комбинаторика. Предположим, что, как при определении
вероятностей, все элементарные события имеют одинаковую
вероятность (они равновероятны). Для определения вероят-
ности некоторого события А нужно знать общее число элемен-
тарных событий и число тех элементарных событий, которые
влекут событие А. Для подсчета числа элементов конечных
множеств используются либо прямые методы, основанные на
полном переборе вариантов, либо комбинаторные. Математи-