Элементарная геометрия - Шоластер Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
мотетии будет равна -х-гт?.
103
3. Тождественное преобразование является частным случаем прямой гомотетии, когда k = 1 и центр произволен.
4. Отражение от точки на плоскости (§ 25) является частным случаем обратной гомотетии, когда k = —1, центр гомотетии является при этом центром отражения.
5. Произведение прямой гомотетии на отражение от центра ее есть обратная гомотетия с тем же центром. Обратную гомотетию с коэффициентом k (k < 0) всегда можно считать произведением прямой гомотетии с тем же центром на отражение от него.
Пусть задана гомотетия ср и фигура F. Каждая точка M этой фигуры отображается при этом в соответствующую ей точку М\ что запишем так:
о (M) = M'.
Совокупность точек M' образует фигуру F', которая называется гомотетичной фигуре F:
Гомотетия ср-1, обратная гомотетии ср, отображает, очевидно, фигуру F' в фигуру F:
cp-i (F) = F.
Следовательно, фигура F при этом будет гомотетична фигуре F'. Фигуры Fr F' взаимно гомотетичны
Черт. 93 а
Черт 93 б
104
друг с другом. Если гомотетия ср (а значит, и обратная гомотетия ср-1) прямая, то ее центр называется внешним центром подобия фигур F и F' (черт. 93 а).
Если же ср является обратной гомотетией, то ее центр называется внутренним центром подобия данных фигур (черт. 93 б).
Теорема. Фигура, гомотетичная отрезку, есть отрезок; гомотетичные отрезки или параллельны, или лежат на одной прямой, отношение их равно абсолютной величине коэффициента гомотетии.
Пусть задана гомотетия ср и отрезок AB. В силу свой- i^-^
ства 5 при доказательстве достаточно рассмотреть слу-чай, когда ср — прямая го- 2 мотетия. ^ -
Положим сначала при до-казательстве, что центр гомо- ""^
тетии не лежит на прямой AB ?^4д'
(черт. 94). Имеем: д4
ср(Л) = A', cp(?) =В',
SA' _ SB^ _ , SA ~ SB ~k'
В силу обратной теоремы из § 34 прямые AB и А'В' параллельны. Возьмем произвольную точку M отрезка AB и обозначим через N точку пересечения луча SM с отрезком А'В'. Тогда по прямой теореме из § 34:
SN _ SA^ _ ,
SM ~ SA "~
Следовательно, точка N гомотетична точке М. Итак, все точки отрезка AB отобразятся в точки отрезка А'В'. Легко также видеть, что любая точка N отрезка А'В' гомотетична некоторой точке отрезка AB, а именно той, в которой AB пересекается с лучом SN. Итак, отрезок AB' гомотетичен отрезку AB. Кроме того, по следствию из указанной прямой теоремы мы можем записать, что
A'Bf SA^_ _ ь
AB ~~ SA
Пусть теперь центр гомотетии S лежит на прямой AB (черт. 95 а). Имеем: ср (А) = А', ср (S) = В'. Точки А' и В' лежат, очевидно, тоже на прямой AB. Пусть M — произ-
105
вольная точка отрезка AB1 а M' — ей соответствующая при данной гомотетии. Положим, Что S лежит вне отрезка AB1 причем SA < SM < SB. Тогда из двойного равенства
SA' _ SAV _ SB'
SA ~ SM ~ SB
следует, что
SA' <SM' <SB\
т. е. точка M' принадлежит отрезку А'В'. Из этого же равенства следует, что каждая точка M' отрезка А'В' гомо-
м м' -н-1—.-1-)—
в-M-H-H-1- ?' д s в 3'
SABA' В'
Черт. 95 а Черт. 95 б
тетична некоторой точке M отрезка AB. Итак, отрезок AB гомотетией ср отображается в отрезок А'В'.
Данное утверждение легко установить также для случая, когда S принадлежит отрезку AB (черт. 95 б). В этом случае отрезок AB распадается на отрезки SA и SB1 которые отображаются соответственно в отрезки SA' и SB'. Следовательно, весь отрезок AB отображается в отрезок AfBr.
Учитывая направление отрезков, из данной теоремы можно получить следствие:
Черт, 96 а Черт. 96 б
Фигура, гомотетичная вектору, есть вектор. При прямой гомотетии гомотетичные векторы ориентированы одинаково, а при обратной — противоположно (черт. 96 а, 96 б). Отношение длин гомотетичных векторов равно абсолютной величине коэффициента гомотетии.
Кроме того, из данной теоремы вытекают следующих два предложения, доказательство которых предоставляем читателю:
106
1. Фигура, гомотетичная лучу, является лучом, одинаково направленным с данным при прямой гомотетии и противоположно направленным с ним при обратной гомотетии (§ 22).
2. Фигура, гомотетичная углу, представляет угол, одинаково ориентированный с данным (§ 24) и равный ему (черт. 97).
Мы можем сказать, следовательно, что гомотетия сохраняет величину угла и его ориентацию.
§ 36. Различные способы задания гомотетии
1. Как мы знаем, гомотетия может быть задана центром S и коэффициентом k. Однако такой способ не всегда удобен для геометрических построений.
2. Гомотетия может быть задана центром S и парой соответственных точек Л и Л', расположенных на одной прямой с центром S. При таком задании коэффициент гомоте-
SA'
тии определяется через отношение -?д-.
Если В — точка, не лежащая на прямой SA, то для построения ей соответствующей точки В' проведем прямые SB и AB, а через точку А' — прямую, параллельную AB.
Черт. 98
Пересечение последней с прямой SB даст искомую точку В' (черт. 98).
Если точка С лежит на прямой SA, то для построения гомотетичной ей точки С можно воспользоваться парой соответственных точек ? и В', не лежащих на SA.
