Элементарная геометрия - Шоластер Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Для измерения отрезков нам потребуется следующая аксиома, известная под названием аксиомы Архимеда.
Аксиома. Каковы бы ни были два отрезка, всегда найдется такое кратное меньшему отрезку, которое превосходит больший отрезок.
Следовательно, если AB > CD, то найдется такое натуральное число т, что AB <mCD.
Из этой аксиомы следует также, что каков бы ни был отрезок CD, меньший отрезка AB, всегда найдется такое
натуральное число т, что CD > -^- AB.
Пусть P и Q — произвольные отрезки. Рассмотрим последовательность отрезков:
Q9 2Q9 nQ, (п + 1) Q9 ...
По аксиоме Архимеда найдется такое натуральное число т9 для которого mQ > Р. Однако отрезок mQ может не быть первым отрезком последовательности, который превосходит
86
отрезок Р. Пусть таким первым отрезком в данной последовательности будет отрезок (п + 1) Q. Тогда отрезок nQ уже не превосходит отрезка P (nQ < P). Если, в частности, Q > Ру то мы принимаем, что п = 0.
Итак, мы пришли к следующему выводу: каковы бы ни были два отрезка P и Q1 всегда найдется неотрицательное число п, для которого
nQ < P < (п + I) Q.
Пусть нам дан луч h с началом О. Установим между множеством точек его и множеством неотрицательных действительных чисел соответствие. Число, соответствующее точке, назовем ее координатой. Соответствие установим следующим образом.
Началу луча О поставим в соответствие число нуль. Возьмем некоторый отрезок ? (единичный отрезок). Откладываем E последовательно от точки О. Концу первого отрезка поставим в соответствие число 1, второго—2,
1 о о-------о о
О 1 2 п лЧ
Черт. 83
п-го — число п (черт. 83). Каждый отрезок [я; /2 + 1] разделим на 10 частей и точкам деления поставим в соответствие числа я, 1; я, 2; я, 3; я, 9, идя последовательно от точки с координатой п к точке с координатой п + 1. Затем каждый из отрезков [я, р; я, (р + 1)] разделим еще на 10 частей и точкам деления поставим в соответствие числа я, pi; я, р2; п, рЗ; я, р9, идя отточки с координатой n, р к точке с координатой я, (р + 1). (Под числом n, (р + 1)
понимаем число я, р + -^-, под числом п, рг (р2 + 1) —
число я, Pi р2 +jQ2 и т- Д-) Этот процесс будем продолжать
неограниченно. Тогда на луче получим бесконечное множество точек, которым поставлены в соответствие конечные десятичные дроби. Каждую такую точку назовем меткой. Координату метки А обозначим через а.
Обозначим отрезок -^r- E через E11 отрезок -^- E1 (или
а?
щ E) через E2) отрезок -^- E2 (или ?) через Ег и т. д.
Вообще обозначим через Et отрезок, составляющий -^отрезка Е. Следовательно, можно записать, что Et=±E и E=WE1.
Число a = п, P1 р2... pt показывает, что в отрезке от О до метки А содержится п раз отрезок Е, кроме того, P1 раз отрезок E1, р2 раз отрезок ?2 и т. д. и, наконец, pt раз отрезок Et. Очевидно, что в рассматриваемом отрезке отрезок Et будет содержаться 1(У a = п, P1 р2... pt- W раз.
Пусть имеем две метки А и В с координатами а = я, Pi Рч ••• и * = m> <7i<72 .-. qs (b > а). Из способа построения этих меток следует, что большему из чисел а и J соответствует более удаленная от начала точка на луче.
Пусть t > s. Тогда числа a- W и — натураль-
ные и
OA = a-WEt, 05 = 6-10'
Следовательно, отрезок AB будет содержать (b—a) - W раз отрезок Е?:
AB = (Ь—а) 10' Et.
Отсюда следует, что, если с = b — а, то отрезки ОС и AB будут равны, так как они содержат одинаковое число раз отрезок Et.
В дальнейшем нам потребуется следующее предложение: Лемма. Между двумя любыми точками луча MuN находится бесконечное множество меток, полученных указанным выше способом.
Для доказательства достаточно установить, что между любыми двумя точками луча находится по крайней мере одна метка. Если MN > Е, то это очевидно. Пусть MN<?. Тогда из аксиомы Архимеда следует, что найдется такое
натуральное число t, при котором MN > ?,т. е. MN>Et.
Но тогда отрезок MN содержит хотя бы одну метку порядка t (конец одного из отрезков Et), т. е. метку с координатой п, P1P2... pt. Таким же путем убедимся, что между этой меткой и точкой M находится еще по крайней мере одна метка
88
и т. д. Отсюда следует, что отрезок MN содержит бесконеч-ное множество меток.
Итак, на луче содержится бесконечное множество меток, каждой из которых поставлена в соответствие конечная десятичная дробь. Очевидно, что любая конечная десятичная дробь соответствует определенной метке. Встает вопрос: исчерпываются ли полученными указанным образом метками все точки луча? Наличие несоизмеримых отрезков позволяет утверждать, что нет. Действительно, если а — конечная десятичная дробь, то отрезок OA соизмерим с Е. Следовательно, если мы отложим на луче h от начала О отрезок OM1 несоизмеримый с E1 то точке M этого луча не будет соответствовать конечная десятичная дробь, т. е. эта точка не совпадает ни с одной меткой.
Пусть точка M не совпадает ни с одной из меток. Покажем, что в этом случае мы можем сопоставить с точкой M единственным образом действительное положительное число а, выражающееся уже бесконечной десятичной дробью.
