Элементарная геометрия - Шоластер Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
§ 28. Применение движений к геометрическим построениям
При решении задач на построение часто используются перемещения отдельных данных элементов искомой фигуры. Это дает возможность данную задачу свести к более простым задачам на построение. Приведем примеры. Задача 1. Построить
четырехугольник ABCD по трем сторонам и двум углам, прилежащим к четвертой стороне (черт. 78 а).
Анализ. Пусть в искомом четырехугольнике ABCD (черт. 78 б) данными элементами являются стороны AB, BC1CD и углы BAD и ADC Сблизим между собой стороны AB и DC путем переноса стороны AB при векторе
смещения AD. Отрезок AB отображается в равный и параллельный ему отрезок DE, Рассмотрим Д DEC. В нем известными элементами оказываются стороны DE и DC и EDC1 равный разности
Дано* С,
Черт. 78 а
ADC и угла, смежного с BAD. Построив его по этим элементам, мы сможем построить Д ВЕС по сторонам ЕС, ВС и ^ BEC1 который определяется через ^ DEC и данный ^ BAD.
После этого остается построить параллелограммЛ??0.
Построение, (черт. 78 а). На произвольной прямой LK берем произвольную же точку D и строим углы KDE и LDC, равные соответственно данным Черт. 78 б углам BAD и ADC. На лу-
79
чах DE и DC откладываем отрезок DE= ABr отрезок DC Строим затем прямую EM || KL, окружность С (CB) и точки их пересечения с прямой EM (если они существуют) Ви В'. Наконец, подвергаем отрезок DE переносу с вектором EB (или EB') в положение AB (или А'В').
При принятых в нашей задаче данных построение дало нам выпуклый четырехугольник ABCD и невыпуклый четырехугольник А'В'CD. Эти четырехугольники будут искомыми, что предоставляем проверить читателю. При других данных решений может не быть вообще (в случае отсутствия общих точек у прямой EM и окружности С) или может быть только одно решение (например, при 5С>?С).
Если в четырехугольнике данными элементами являются диагонали, то может оказаться выгодным подвергнуть переносу одну из них так, чтобы конец ее отобразился в конец другой диагонали.
Задача 2. Построить четырехугольник по двум противолежащим сторонам, двум диагоналям и углу между ними.
Анализ. Пусть в искомом четырехугольнике ABCD (черт. 79) данными элементами являются стороны ВС и AD,
Черт 79
диагонали AC и BD и ^ AOD, образованный ими. Подвергнем диагональ BD переносу с вектором ВС. Она отобразится в отрезок СЕ. В Д АСЕ сторона AC дана, CE = BD и ^ACE = ^ AOD. Построив его, мы, далее, сможем построить Л AED по трем сторонам (AD — данная сторона, DE = ВС). После этого остается подвергнуть отрезок CE
переносу с вектором ED.
80
При построении следует учесть, что точки DhC могут быть расположены по разные стороны прямой AE и по одну сторону ее.
Если отрезок AE окажется меньше суммы отрезков ВС и AD, то Д AED не существует и поэтому не существует и искомый четырехугольник.
При решении следующей задачи применяется поворот на плоскости части фигуры.
Задача 3. Построить равнобедренный треугольник ABC, у которого AC = ВС, ^ ACB — данный, положение вершины С задано, а вершины А и В лежат соответственно на прямых а и Ь (черт. 80 а).
Черт. 80 а
Анализ. Пусть Л CAB — искомый (черт. 80 б). Опустим из точки С перпендикуляр CD на прямую a (D — основание перпендикуляра). Так как AC = CB, то при повороте Д CDA вокруг центра С на ACB его вершина А совпадет с вершиной В искомого треугольника, точка D при этом займет положение D'. В Д BCD' положение стороны CD' определено, а вершина В лежит на данной прямой Ь и на прямой BD', перпендикулярной этой стороне. Отсюда вытекает следующее построение.
Построение (черт. 80 а). Строим прямую CD, перпендикулярно данной прямой а, и точку D, в которой эти прямые пересекаются. Строим затем отрезок CD', рав-
Черт. 80 б
81
ный отрезку CD и образующий с ним данный угол ср. Через точку D' проводим прямую, перпендикулярную отрезку CD', и строим точку В, в которой она пересекается с прямой Ь. Затем проводим окружность С (CB) и отмечаем ту точку пересечения ее с прямой а, которая лежит внутри ^BCD (точка А). Соединяя построенную точку А с точкой В, получим Д ABC.
Доказательство. Чтобы доказать, что ДЛ5С-искомый, достаточно убедиться в равенстве углов BCA и D'CD. Для этого рассмотрим прямоугольные треугольники ADC и BD'С\ они равны как имеющие равные гипотенузы и равные катеты CD и CD'. Из равенства углов этих треугольников при вершине С следует, что ^ ACB = ^DCD''.
Исследование. Так как отрезок CD можно поворачивать вокруг центра С на заданный угол ср в двух противоположных направлениях, то задача может иметь два решения (на чертеже 80 а Д А'В'С дает второе решение). Если одна из перпендикулярных прямых к прямым CD' и CD" окажется параллельной данной прямой Ь, то одна из точек В и В' не существует и решение будет одно. Это будет иметь место тогда, когда один из углов пересечения прямых а и Ь равен данному углу ср, причем ср^=90°.
Если а Il Ь, то задача всегда имеет решение, так как при этом точки В и В' всегда существуют. Легко видеть, что в этом случае Д А'В'С = AABC
