Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
из теоремы 3.3, существует такой функционал Л Є X*, что Ay = = ILv Il и I Ax J ^ У X И для всех х?Х. В частности,
I Л/ (<7)|<||/-(<7)||
для всех q(zQ. Отсюда следует, что
\\y\\ = Ay=l(Af)du^\i\\f\\dlx. ¦
Q
Q
Голоморфные функции
При изучении банаховых алгебр, а также в некоторых других ситуациях полезно расширить понятие голоморфности таким образом, чтобы оно стало применимо не только к комплексным» но и к векторным функциям. [Конечно, можно также расширять класс областей определения функций, переходя, например, от областей в С к областям в С" или даже в более общих пространствах; но это другое дело.] Есть по меньшей мере два очень естественных определения голоморфности, пригодных в этой общей обстановке: «слабое» и «сильное». Оказывается, что в слу-
гл. 3. выпуклость
95
чае, когда рассматриваются функции со значениями в пространстве Фреше, эти определения приводят к одному и тому же классу функций.
3.30. Определение. Пусть Q — открытое множество в С, и пусть X—комплексное топологическое векторное пространство.
(a) Функция /: Q—>Х называется слабо голоморфной в Q, если для всякого функционала AGX* функция Af голоморфна в Q в обычном смысле.
(b) Функция /: Q—*Х называется сильно голоморфной в Q, если для каждой точки z G Q существует предел
в смысле топологии пространства X.
Отметим, что отношение, фигурирующее в определении (Ь), понимается как произведение скаляра (w—z)~x на вектор / (w) — — /(г) пространства X.
Из непрерывности и линейности функционалов Л, участвующих в определении (а), сразу следует, что всякая сильно голоморфная функция слабо голоморфна. Если X — пространство Фреше, то верно и обратное утверждение, однако это далеко не очевидно (напомним, что слабо сходящаяся последовательность может не быть сходящейся в исходной топологии). При доказательстве этого факта важную роль будут играть теорема Коши и теорема 3.18.
Индекс точки г GC относительно замкнутого пути*) Г, не проходящего через эту точку, будет обозначаться Indr(e); напомним, что для спрямляемого пути
3.31. Теорема. Пусть f: Q—^X — слабо голоморфная функция на открытом множестве QcC со значениями в комплексном про-странстве Фреше X. Тогда справедливы следующие утверждения:
(а) функция f сильно непрерывна на Q;
!) Путь Г о С — это непрерывное отображение у компактного отрезка [а, Ь\ cz R в С; при этом символом Г обычно обозначают как сам путь, так и образ отображения у, г. е. компакт у ([a, b\) cz С. Путь Г замкнут, если УІа)~ УФ)- Индексом точки zGC\r относительно замкнутого пути
T (у: \uf b]—>С) называют целое число Indr (z) — {arg [у (b) — z\ —
—-arg[у (a) — z\), где arg [у (t) — z] — какая-нибудь непрерывная ветвь многозначной функции Arg Iy (t)—z\ на отрезке a<^t^b. Если путь T спрямляем (т. е." задающая его непрерывная функция у: [а, Ь]—*С является функцией с ограниченной вариацией), то индекс ItId1, (г) можно вычислять по формуле, приведенной в тексте.— Прим. перев.
г
96
часть 1. общая теория
(b) для функции f имеют место теорема Коши и формула Коши: если Г—такой замкнутый спрямляемый путь в Q, что Indr (&') = О для всякой точки w(?Q, to
(1) [J(QdU = O
г
и
(2) !(2) = ш^Ъ-гУЧ {I) dl
y
для любой точки z ? -2\Г, удовлетворяющей условию In(Ir(Z) = 1. Если T1 и Г.2—такие замкнутые спрямляемые пути в Q, что
ImIr1 (^) = Ind Ги (w) для всякой точки w^Q, то
(3) J /(XMS=S /(?)#;
г, г,
(c) функция f сильно голоморфна в Q.
Интегралы в утверждении (Ь) понимаются в смысле определения 3.26 и теоремы 3.27. При этом под а% понимается комплексная мера1) на компакте ГсС; можно также параметризовать Г и интегрировать по мере Лебега — Стильтьсса на компактном интервале в R.
Доказательство, (а) Не ограничивая общности, предположим, что 0?Й и /(0) = 0, и докажем сильную непрерывность функции / в точке 0. Положим
(4) Аг = {г?С: |г|<г};
2) Если Г (у: [a, b] -> С) — спрямляемый путь, то мера dt, на борелевских подмножествах E компакта Т—у([а, ^J) CZ С определяется по формуле (E) = (dy) (у-1 (E)), где dy—комплексная мера Лебега —Сгильтьсса на
ъ
[о, Ь], порожденная функцией у. Ясно, что ^ / (Q d? = ^ / (у (/)) dy (/) для
г а
любой непрерывной (комплексной или векторной) функции / на Г; если
функция у непрерывно дифференцируема, то последний интеграл можно
ъ
записать также в виде ^ / (у (/)) у' (/) dt. Отметим еще, что утверждение (Ь)
а
сохраняет силу, если рассматривать «составные» спрямляемые замкнутые пути, т. е. любые конечные семейства Г={Г,-| спрямляемых замкнутых путей Г і (у і', [щ, ЬЦ -> С). При этом под индексом точки ??С\Г относительно такого Г понимается целое число \т\6Г(г) = ^\по Г. (г), а мера d?
і
на компакте ^=U Г,-с С определяется по формуле (tit,) (E) =
і
= 2j ^Vi) (їГ1 (?П T1)).— Прим. персе, і
гл. 3. выпуклость
97
тогда A^cQ для некоторого г > 0. Фиксируем такое г и обозначим через Г положительно ориентированную границу круга A2,..
Пусть AGX*. Так как функция 1,'1Af (?) голоморфна в то при 0 < I z I < 2г
(АШ= 1 Г W)O ^
г
Пусть TW(A) — максимум |А/| на A27.. Из (5) следует, что при О <\г\^г
