Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
п -> оо
и примените теорему 3.2.
5. Пусть О < р < оо; обозначим через Ip пространство всех функций х (вещественных или комплексных, в зависимости от обстоятельств), определенных на множестве всех положительных целых чисел и удовлетворяющих условию
<х>
2 \*(п)\р< °°-
п-i
При 1</?<оо и х?1Р положим 11^1^ = (21^(") И'/Р» а для х?1°° (см. предыдущее упражнение) положим [J X H«, = sup I X (п) f.
п
(a) Пусть 1^/?<оо; доказать, что нормы ||-||^ и Ц-Ц,» превращают пространства Ip и /°° соответственно в банаховы пространства. Доказать, что если р~г +q-x= 1, то {IP)* = 19 в следующем смысле: формула
Ах=^х(п)у(п) (х?1Р, у?1Я)
устанавливает взаимно однозначное линейное соответствие Л <-» у между пространствами (ІР )* и 1я .
(b) Доказать, что при 1 < р < оо пространство Ip содержит слабо сходящиеся последовательности, не являющиеся сильно сходящимися.
(c) С другой стороны, доказать, что каждая слабо сходящаяся последовательность в пространстве Iі сильно сходится, несмотря на то что слабая
4*
100
часть 1. общая теория
топология пространства Iі отлична от его сильной топологии (которая индуцируется нормой).
(d) Доказать, что если 0 < р < 1, то пространство IP с метрикой
QO
является локально ограниченным /^-пространством и что оно не является локально выпуклым; показать, что тем не менее (IP)* разделяет точки в IP. {Таким образом, в Ip имеется много открытых выпуклых множеств, но их не хватает для образования базы топологии пространства IP.) Показать, что (IPy = I00 в том же самом смысле, что и в утверждении (а). Показать также, что множество всех х, для которых d (х, 0) < 1, слабо ограничено, но не ограничено в исходной топологии.
(e) Пусть 0<р^1, и пусть Xp—слабая* топология, индуцированная в /°° пространством IP (см. (а) и (Л)). Показать, что если 0 < р < г^\, то топологии хр и хг различны (верно ли, что одна из них слабее другой?), но что они индуцируют одну и ту же топологию на каждом ограниченном по норме подмножестве пространства /°°. Указание: замкнутый единичный шар |дс?/°°: ЦагЦоо^і} пространства /* слабо* компактен.
6. Пусть fn(i) = einf (—я^/^л), и пусть LP = LP (—л, л) (относительно меры Лебега). Показать, что если і ^p < оо, то fп -*¦ 0 в LP слабо, но не сильно.
7. Рассмотрим в пространстве L°° ([0, 1]) две топологии: индуцированную нормой (II / IJ00 есть 'существенная верхняя грань | / |) и слабую* топологию, индуцированную представлением L°° как сопряженного пространства к L1. Пусть С — подпространство в L°°, состоящее из всех непрерывных функций на отрезке [0, I]. Доказать, что относительно одной из указанных топологий С всюду плотно в L00, а относительно другой нет (ср. со следствием теоремы 3.12). Доказать аналогичное утверждение с заменой слов «всюду плотно» словом «замкнуто».
8. Пусть С-—банахово пространство всех комплексных непрерывных функций па отрезке [0, 1] с sup-нормой, и пусть В—замкнутый единичный шар в С. Показать, что существует такой непрерывный линейный функционал Л на С, что Л(В) является открытым подмножеством комплексной плоскости; в частности, функция |Л| не достигает на В своей верхней грани.
9. Пусть E cz L2 (—л, л) — множество всех функций
/«>«(0 = е|'я,* + /леЧ
где т и п — целые числа и 0<:m < п. Пусть ЕЛ—множество всех g?L2, являющихся пределами слабо сходящихся последовательностей функций из E (множество E1 называется слабым секвенциальным замыканием множества E).
(a) Найти все g?Et.
(b) Найти все g, принадлежащие слабому замыканию Ew множества Е.
(c) Показать, что 0?Ет и что 0 не принадлежит E1, хотя 0 принадлежит слабому секвенциальному замыканию множества E1.
Этот пример показывает, что слабое секвенциальное замыкание может не быть слабо секвенциально замкнутым множеством. Поэтому переход от данного множества к его слабому секвенциальному замыканию не является операцией замыкания в том смысле, в котором этот термин обычно употребляется в топологии. (См. также упр. 28.)
гл. з^ыпуклость
101
(т, 1) = 2 X (т, п) (m= 1, 2, 3, ...).
10. Представим Iх как пространство всех вещественных функций х на ,^.множестве S = {(rn, п): m^l, п ^ I }, удовлетворяющих условию
II* Hi =21 х(ш' п)1 <°°-
Пусть с0 — пространство всех таких вещественных фз'нкций у на 5. .для которых і/(т, /г) —>0 при m-f-rc->oo, с нормой || у = sup | у (т, л)|.
Пусть M — подпространство в Iх, состоящее из всех функций х? Iх, удов, .летворяющих уравнениям
со
тх(т, 1) =
/7=2
(a) Доказать, что ^ = (c0)*. (См. также упр. 24 гл. 4.)
(b) Доказать, что подпространство M замкнуто относительно нормы в Iх.
(c) Доказать, что M слабо* всюду плотно в Iх (относительно слабой* топологии в Iх, индуцированной пространством с0\ см. (а)).
(d) Пусть В = {х?1х: К x W1 1} — замкнутый единичный шар в Доказать, что, несмотря на (с), слабое* замыкание множества Mf\B не содержит ли одного шара. Наводящее соображение: если 6 > 0 и т > 2/6, то для всех jc^Mf]B
\чт, |)|<1?к<в.,
хотя x (т, 1) = 6 для некоторого x?6?; таким образом, 60 не содержится в слабом* замыкании множества M Г) В; распространите это рассуждение на опары с центрами в других точках.
