Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
О) |Ax|<T(x) (*€Х,Л€К).
Пусть Dx—множество всех скаляров ее, удовлетворяющих неравенству |а|^7(х), и пусть т—топология произведения в декартовом произведении P всех множеств Dx (по одному экземпляру для каждого х?Х). Так как каждое из множеств Dx компактно, то по теореме Тихонова P компактно. Элементами P являются все функции / на X (не только линейные), удовлетворяющие условию
(2) \f(x)\<y(x) (X6 X).
Таким образом, КаХ*Г)Р. Поэтому в К имеются две топологии: одна индуцирована слабой* топологией в X* (именно к ней относится утверждение теоремы); другая индуцирована топологией т произведения в Р. Мы покажем, что
(a) эти две топологии в К совпадают,
(b) К является замкнутым подмножеством в Р.
Так как P компактно, из (Ь) следует т-компактность /С, а тогда (а) влечет за собой слабую* компактность К.
Фиксируем некоторую точку A0 ? К. Выберем произвольно х,-?X (1<л<!я) и 6>0 и положим
<3) W1 = IA^X*: IAx4-A0X1-Ko при
(4) W2 = {f?P: 1/(^)-A0JC1-I < 6 Кі<п\.
Пусть /г, je,- и б пробегают все допустимые для них по смыслу значения. Возникающие при этом множества вида (3) образуют локальную базу слабой* топологии пространства X* в точке A0, а множества вида (4) образуют локальную базу топологии т пространства P в той же точке. Так как КаХ*пР, то
откупа следует (а).
Далее, допустим, что /0 принадлежит т-замыканию К- Выберем произвольно X ?Х, у?Х, скаляры а, ? и є > 0. Множество всех /?Р, для которых If—/о|<в с точках х, у и ax-f-?t/, является т-окрестностью точки /0; поэтому К содержит хотя бы
82
часть 1. общая теория
очну такую точку /. Так как все элементы К являются линейными функционалами, то
/о (ах+ Vy)-Vf0 (X)-^f0 (у) = (f0-f) (ах + Vy) +a (f-f0) (х) +
+ ?(/-/o) (У),
откуда
I f0 (ах+ Qy)-CLf0 (X)-Vf0 (У) I < (1 + |а | + [ ? |) г.
Поскольку є произвольно, отсюда следует, что функция f0 линейна. Наконец, если х ? V и є > 0, то аналогичное рассуждение показывает, что в К найдется функция /, для которой \f(x) — — /0 (х) I < е. Так как | / (х) | 1 по определению множества /С,, то отсюда следует, что |/0(х)|^1, и мы заключаем, что /0?/С. Это доказывает утверждение (Ь), а вместе с ним и теорему. Щ
Если X сепарабельно (т. е. содержит счетное всюду плотное подмножество), то утверждение теоремы Банаха — Алаоглу можно усилить, объединяя ее со следующим результатом.
3.16. Теорема. Если X — сепарабельиое топологическое векторное пространство, а К—слабо* компактное подмножество в Х% то К метризуемо в слабой* топологии.
Предостережение: не следует думать, ч го само пространство X* метризуемо в слабой* топологии; например, это не верно, если X — бесконечномерное банахово пространство' (см. упр. 15).
Доказательство. Пусть {хп\—счетное всюду плотное множество в X. Для каждого A G X* положим fn (A) = Axn. По определению слабой* топологии все /„ являются слабо* непрерывными функциями на X*. Если f„(A)=fn(A') для всех я, то Axn=A'Xn для всех п, откуда следует, что А== А', ибо А и А' непрерывны на X и совпадают на всюду, плотном подмножестве.
Таким образом, —счетное семейство непрерывных функций, разделяющее точки в Х% и метризуемость К следует из предложения (с) п. 3.8. В
3.17. Теорема. Если V—окрестность нуля в сепарабельном топологическом векторном пространстве X, а \Ап\ — такая последовательность в сопряженном пространстве X*, что
|А,гх|<1 (хGV, л=1, 2, 3, ...),
то найдутся такая подпоследовательность {An) с {Ая} и такой функционал A cz X*, что для всех х G X
Ax = lim А„.х.
гл. 3. выпуклость
83
Иными словами, поляра окрестности нуля сепарабельного топологического векторного пространства секвенциально компактна в слабой* топологии.
Доказательство получается объединением теоремЗ. 15 и 3. 16.Ц
В следующем применении теоремы Банаха—Алаоглу привлекаются также теорема Хана — Банаха и (неявно) категорные соображения.
3. 18. Теорема. В локально выпуклом пространстве X всякое слабо ограниченное множество подлинно ограничено, и обратно.
Как показывает часть (d) упр. 5, условие локальной выпуклости X существенно для справедливости этой теоремы.
Доказательство. Так как всякая слабая окрестность нуля в X является также подлинной окрестностью нуля, то из определения ограниченности с очевидностью следует, что каждое подлинно ограниченное множество в X слабо ограничено. Обратное утверждение составляет нетривиальную часть теоремы.
Пусть E — слабо ограниченное множество в X, и пусть U — подлинная окрестность нуля.
Так как пространство X локально выпукло, го в нем существует такая выпуклая уравновешенная подлинная окрестность
нуля V, что VcU. Пусть К—поляра окрестности V, т.е. <1) /С = {Л"6Х*: |Лх|<1 для всех xGV}.
Мы утверждаем, что
(2) V = {x€X: |Лх|<1 для всех Л?/<}.
Ясно, что V содержится в множестве, стоящем в правой части соотношения (2); так как последнее множество подлинно замкнуто, то V также в нем содержится. Допустим, что X0 ? X и X0 (? V. Тогда, как показывает теорема 3. 7 (с V вместо В), Ax0 > 1 для некоторого А?К, откуда следует (2).
Так как E слабо ограничено, то для всякого AGX* найдется такое Y(A) < оо, что для всех х?Е
