Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
Поэтому для любого X (t X множество \Ьп (х)\ ограничено в Z. Поскольку каждое Ьп является непрерывным линейным отображением ^-пространства X в Z, из теоремы 2.6 следует, что семейство {Ьп\ равностепенно непрерывно. Следовательно, в X найдется такая окрестность нуля V, что
Ья(У)с U (л = 1, 2, 3, ...).
Заметим, что
В(хп, уп)—В(х0, у0)=Ьп(хп—х0) + В(х0, уп—уй).
Если п достаточно велико, то (i) Xn € X0 + V, так что Ьп (хп—X0) ? U, и (іі) В(х0, уп—y0)?U, поскольку В непрерывно по у и В(х0, O)=O. Поэтому
В(хп, Уп)-В(х0, y0)?U + UcW
для всех достаточно больших п, откуда следует (1).
Если пространство Y метризуемо, то XxF тоже метризуемо, и непрерывность В следует из (1). (См. приложение А6.)
Упражнения
1. Пусть X—бесконечномерное топологическое векторное пространство, представимое в виде объединения счетного числа своих конечномерных подпространств. Доказать, что X является множеством первой категории в себе.
64
часть 1. общая теория
Доказать, что по этой причине никакое бесконечномерное ^-пространство не может иметь счетного базиса Гамеля.
[Подмножество ? векторного пространства X называется базисом Гамеля, если оно является максимальным линейно независимым подмножеством в X. Иначе говоря, ? есть базис Гамеля, если каждый вектор х ? X допускает единственное представление в виде конечной линейной комбинации векторов из ?.]
2. Множества первой и второй категории являются соответственно «малыми» и «большими» в топологическом смысле. Множество, «малое» в этом смысле, может оказаться «большим» в смысле теории меры даже в том случае, когда мера тесно связана с топологией. Чтобы убедиться в этом, постройте на единичном отрезке множество первой категории, лебегова мера которого равна 1.
3. Пусть К — [—1, 1J; определим <3)к, как в п. 1.46 (с заменой R" на R). Пусть —такая последовательность интегрируемых по Лебегу функций на К, что предел
1
Лф= Hm \ fn(t)q(t)dt
П -> ос
существует для каждой функции ср ? ёЬк- Показать, что Л является непрерывным линейным функционалом на ^Dk- Показать, что существуют такое положительное целое р и такое число М<сс, что
(1)
J /„ (/) ф (/) dt -1
M И DP<p \\0
для всех п и всех ф Є SDk- В качестве примера рассмотреть последовательность {fn}, где fn(t) = ri2 на [0, 1/п] и /„(/) = 0 вне [0, \/п], и показать, что (1) справедливо при некотором M < оо и р—\. Построить пример, где (1) выполняется при некотором M < оо и р — 2, но не выполняется при р=1 ни для какого M < оо.
4. Пусть L1 и L2— обычные лебеговы пространства на единичном интервале. Доказать следующими тремя способами, что L2 является множеством первой категории в L1:
(a) показать, что множество |/: ^|/42s^"j замкнуто в L1, но имеет
пустую внутренность;
(b) пусть grt(0 — n на [0, л-3] и gn(t) = 0 вне [0, я-3]; показать, что
0
для любой функции f ? L2, но не для любой функции / ? L1;
(с) заметить, что естественное вложение L2 в L1 непрерывно, но не является отображением L2 на все L1. Сделать то же самое для LP и Li при
кр < q-
5. Доказать утверждения, аналогичные сформулированным в упр. 4, для пространств ip, где ip—банахово пространство всех комплексных функций х па множестве |0, 1, 2,...}, для которых норма
.л =0
конечна (р ^ 1).
гл. 2. полнота
65
6. Определим коэффициенты Фурье f{n) функции /?L2 (T) (T—единичная окружность), полагая
я
-я
для всех л ^ Z (Z — аддитивная группа всех целых чисел). Пусть
An/= 2 /(A').
Доказать, что множество {/ ^L2 (T): Hm Anf существует} является всюду
п СО
плотным подпространством в L2 (T) и имеет в L2 (T) первую категорию.
7. Пусть C(T) — множество всех непрерывных комплексных функций на= единичной окружности Т. Пусть {уп\ (п ? Z)— такая последовательность комплексных чисел, что для любой функции / ? С (T) существует такая функция Af ? С (T), коэффициенты Фурье которой связаны с коэффициентам» Фурье функции / соотношениями
(AfГ (n) = ynJ(n) (л ^Z)
(обозначения те же, что в упр. 6). Доказать, что последовательность {упУ тогда и только тогда обладает этим мультипликаторным свойством, когда на T существует такая комплексная борелевская мера ц, что
уп=^е-*вац{Є) (^Z).
Наводящее соображение. Множество С (T) с обычной sup-нормой являете» банаховым пространством. Примените теорему о замкнутом графике. Затем, рассмотрите функционал
/ — (Л/) (1)=2 уJ(n)
— со
и примените к нему теорему Рисса о представлении ([27, теорема 6.19] или
[13, г. I, стр. 288, теорема 3]). [Ряд 2^ynf(n) может расходиться; пользуй-* тесь им лишь для тригонометрических полиномов.]
8. Определим фун :ционалы A1n на /2 (см. упр. 5) формулами
m
AOT* = 2 Я2*<Я) <т==1' 2' 3' "•)•
Определим элементы хп ? /2, полагая хп(п)=\/п и хп(і) = 0 при і ф
Пусть множество К CZ I2 состоит из элементов О, X1, х2, х3, ____Доказать,
что К компактно. Вычислить AnXn. Показать, что для любого х ? /( множество {A^a:} ограничено, но множество {А1Пхт\ не ограничено. Поэтому 1* формулировке теоремы 2.9 условие выпуклости К не может быть опущено.
Выберем такие Cn > О, что 2С«= ' и ^псп~ 00J н положим X = CnXn. Показать, что х принадлежит замкнутой выпуклой оболочке множества К (которая, по определению, представляет собой замыкание выпуклой оболочки> и что множество {A7nJc} не ограничено.
