Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом, BczpnW, откуда следует, что В ограничено. Щ
Теорема об открытом отображении
2.10. Открытые отображения. Пусть /—отображение топологического пространства 5 в топологическое пространство Т. Мы говорим, что отображение f открыто в точке p?S, если множество f (V) содержит окрестность точки f (р) всякий раз, когда V является окрестностью точки р. Отображение f называется открытым, если для всякого открытого множества U cz S его образ / (U) является открытым множеством в Т.
Ясно, что отображение / открыто тогда и только тогда, когда оно открыто в каждой точке p?S. В силу инвариантности векторных топологий относительно сдвигов отсюда следует, что линейное отображение одного топологического векторного пространства в другое является открытым тогда и только тогда, когда оно открыто в точке 0.
Отметим также, что взаимно однозначное непрерывное отображение f пространства S на пространство T является гомеоморфизмом в том и только в том случае, когда оно открыто.
2.11. Теорема об открытом отображении. Пусть X есть F-пространство, Y — топологическое векторное пространство, а Л: X —>Y—такое непрерывное линейное отображение, что его образ A(X) является множеством второй категории в Y. Тогда
(I) A(X)=Y;
(и) отображение А открыто; (Vn) Y является F-пространством.
Доказательство. Заметим сначала, что из (ii) следует «(i), так как в Y нет открытых подпространств, отличных от Y. Чтобы доказать (ii), фиксируем в X произвольную окрестность нуля V. Мы должны показать, что множество Л (V) содержит некоторую окрестность нуля в пространстве У.
ГЛ. 2. ПОЛНОТА
Пусть d—инвариантная метрика в X, совместимая с топологией. Положим
(1) V„ = {x: d(x,0)<2-»r\ («-0,1,2,...),
где г > 0 выбрано столь малым, что V0C=V. Мы покажем, чтс*
(2) Шс Л (V)
и что в У найдется такая окрестность нуля W', что
(3) W с ХЩ.
Так как V1ZdV2-V2, то из утверждения (Ь) теоремы 1.13 следует, что
(4) Щ =Л(V2)-Л(V2) z)A^g-лЩ-
Поэтому существование удовлетворяющей (3) окрестности нуля W
будет доказано, если мы сумеем показать, что множество A(V2) имеет непустую внутренность. Но
(5) Л (X)= и M(V2),
поскольку V2—окрестность нуля. Следовательно, по крайней мере-одно из множеств /2/Y(V2) является множеством второй категории в У. Так как отображение у—>ky является гомеоморфизмом пространства У па себя, то множество A(V2) имеет вторую категорию в У; поэтому его замыкание имеет непустую внутренность.
Чтобы доказать включение (2), фиксируем произвольную точку JZ1(EA(V1). Допустим, что для некоторого точка уп (= Л(Vn)
уже выбрана, и укажем, как тогда выбирается точка yn+i ?
Є Л (Vn+1). Доказанное выше относительно V1 справедливо и для Vn + 1, так что Л (Vn+1) содержит окрестность нуля. Поэтому
(6) (//,-A(Vn+1)) П Л (Vn) Ф0.
Это означает, что существует такая точка Xn^Vn, что
(7) Axn € уп-A(Vn+1)._
Положим уп+1 = уп—Ахп. Тогда уа+1? A (Vn+1), и конструкция продолжается.
Так как d (*„, 0) < 2~пг для всех п ^ 1, то суммы X1-}-... -\-хп образуют последовательность Коши, которая (в силу полноты X) сходится к некоторой точке X?Х, причем d(x, 0) < г. Поэтому x?V. Так как
т т
(8) 2 AXn = 2 (Уп—Уп + г)'-=Уі—Ут + г п=1 й=1
и так как (в силу непрерывности Л) ут+1—> O при т—уоо, мы заключаем, что у± = Ax ^A(V). Отсюда следует справедливость включения (2), и утверждение (іі) доказано.
€0
ЧАСТЬ 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
Пусть N—ядро отображения Л; теорема 1.41 показывает, что XJN является F-пространством. Поэтому утверждение (Hi) будет доказано, коль скоро мы построим изоморфизм / пространства X/N на пространство У, когорый является также гомеоморфизмом. Это можно сделать, полагая
(9) f (X+ N)= Ax (X ?Х).
Очевидно, что / является изоморфизмом и что Ax = f (п (х)), где л—факторотображение, описанное в п. 1.40. Если V—открытое множество в У, то множество
<Ю) Г10O = я (Л-1 (V))
открыто, поскольку Л непрерывно, а л открыто. Поэтому отображение / непрерывно. Если E—открытое множество в XfN7 то множество
(11) /(?)=Л (л-* (?))
открыто, так как я непрерывно, а Л открыто. Следовательно, f является гомеоморфизмом. Щ
2.12. Следствия, (а) Если А—непрерывное линейное отображение F-пространства X на F-пространство У, то А открыто.
(b) Если Л удовлетворяет условиям утверждения (а) и взаимно однозначно, то обратное отображение Л-1: Y—>Х непрерывно.
(c) Если А: X—у Y—непрерывное линейное взаимно однозначное отображение банахова пространства X на банахово пространство Y, то существуют такие положительные вещественные числа а и Ь, что
а||*||<цл*||<&|И|
для всех X ?Х.
(d) Если T1CZ T2—такие векторные топологии в векторном пространстве X, что (X, T1) и (X, T2) оба являются F-пространст-еами, то T1 = T2.
Доказательство. Утверждение (а) следует из теоремы 2.11 и теоремы Бэра, согласно которой Y является множеством второй категории в себе. Утверждение (Ь) является непосредственным следствием (а), а (с) вытекает из (Ь). Два неравенства, приведенные в утверждении (с), выражают непрерывность Л-1 и Л. Утверждение (d) получается применением (Ь) к тождественному отображению (X, т2) на (X, T1). Щ
