Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема о замкнутом графике
2.13. График. Графиком отображения / множества X в множество Y называется множество всех точек (х, f (х)) в декартовом произведении XxY, Если X и У—топологические пространства и XXУ
ГЛ. 2. ПОЛНОТА
61
снабжено обычной топологией произведения (т. е. наименьшей топологией, содержащей все множества вида UxV, где U и V — открытые множества в X и К соответственно), а отображение /: X—>Y непрерывно, то естественно ожидать, что график отображения f замкнут в XxY (предложение 2.14). Для линейных отображений одного /^-пространства в другое это тривиальное необходимое условие непрерывности оказывается также и достаточным. Этот важный факт устанавливается в теореме 2.15.
2.14. Предложение. Если X — топологическое пространство, Y—хаусдорфово пространство, a f: X—-+Y—непрерывное ото-бражение, то его график G замкнут.
Доказательство. Пусть Q—дополнение к G в XxY; фиксируем произвольную точку (x0,y0)?Q. Ясно, что у0 Ф f (х0). Поэтому точки у0 и / (л:0) имеют в Y непересекающиеся окрестности VwW. Так как / непрерывно, то существует такая окрестность U точки х0, что f (U)cz W. Таким образом, окрестность U X V точки (х0, у0) содержится в Q. Эго показывает, что Q открыто. Щ
Примечание. В этом предложении нельзя опустить условие хаусдорфовости пространства Y. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим произвольное топологическое пространство X, и пусть /: X—> X—тождественное отображение. Его графиком служит диагональ
D = {(x, х): x?X\czXxX.
Утверждение «D замкнуто в X X X» представляет собой просто другую формулировку аксиомы отделимости Хаусдорфа.
2.15. Теорема о замкнутом графике. Предположим, что
(a) X и Y являются F-пространствами,
(b) отображение Л: X—^Y линейно,
(c) его график G = \(x, Ах): х?Х\ замкнут в XxY. Тогда отображение А непрерывно.
Доказательство. Произведение XxY становится векторным пространством, если ввести в нем покомпонентные операции сложения и умножения на скаляры:
а У і) + ? (*2, У г) = («Jf і H- ?*2. <*У л + $У2)-
Пусть dx и dy—полные инвариантные метрики в X и Y соответственно, индуцирующие топологии этих пространств. Положим
d((xt,yt), (х2, y2)) = dx(X1, X2)^cIy(Ij1, у2);
тогда d—инвариантная метрика в XxY, совместимая с топологией произведения и превращающая его в F-пространство (про-
62
часть 1. общая теория
стую, но скучную проверку этого утверждения мы оставляем читателю в качестве упражнения).
Поскольку отображение Л линейно, его график G является подпространством в XxY. Замкнутые подмножества полных метрических пространств сами являются полными метрическими пространствами. Поэтому G оказывается /^-пространством.
Определим отображения Tt1: G—*Хия2: XxY—>Y, полагая
Ti1 (х, Ax) = х, л2 (x, у) = у.
Тогда лх—непрерывное линейное взаимно однозначное отображение F-пространства G на F-пространство X. Из теоремы об открытом отображении следует, что обратное отображение
яг1: X-G
непрерывно. Но A = я2 о я"1, а отображение я2 непрерывно. Поэтому отображение Л непрерывно. Q
Замечание. Проверка решающего условия (с) доказанной теоремы (т. е. замкнутости графика G отображения Л) в приложениях часто заменяется проверкой следующего условия:
(с') если \хп\—такая последовательность в X, что существуют пределы
x= \\тхп и у= НтЛд:п,
п со п -*¦ со
то у = Ах.
Докажем, что из (с') следует (с). Пусть (я, у) — произвольная предельная точка множества G. Так как пространство XxY мет-риз уемо, то
(*, у) = Hm (хп> Axn)
п -*¦ со
для некоторой последовательности \хп\. Из определения топологии произведения следует, что xn—і-x и Axn—>у. Поэтому в силу (с') получаем у = Ах, так что (х, у) ? G) следовательно, G замкнуто. Точно так же легко доказать, что из (с) следует (с').
Билинейные отображения
2.16. Определения. Предположим, что X, У и Z — векторные пространства и что В—отображение пространства XxY в Z. Сопоставим каждому x^X и каждому у?Y отображения
Bx: Y—+Z и &\ X—+Z,
определенные формулами
Bx (у) = В(х,у) = ВУ(х).
Отображение В называется билинейным, если для всякого х и всякого у отображения Bx и Ву линейны.
ГЛ. 2. ПОЛНОТА
63
Если X, Y и Z—топологические векторные пространства, а для каждого х?Х и каждого у ?Y отображения Bx и непрерывны, то отображение В называется раздельно непрерывным. Если отображение В непрерывно (относительно топологии произведения в XxY), то очевидно, что оно раздельно непрерывно. В некоторых случаях с помощью теоремы Банаха — Штейнгауза можно доказать справедливость обратного утверждения.
2.17. Теорема. Пусть X есть F-пространство, a Y и Z—топологические векторные пространства, и пусть В: XxY—^Z— билинейное раздельно непрерывное отображение. Тогда
(1) В(хп,уп)-*В(х0,у0) в Z,
если Xn—^x0 в X и уп—*у0 в Y. Если пространство Y метри-зуемо, то отсюда следует, что отображение В непрерывно.
Доказательство. Пусть U и W—такие окрестности пуля в Z, что U + Uc W. Положим
Ьп(х) = В{х,уп) [х?Х, /г = 1, 2, 3, ...).
Так как В непрерывно при фиксированном х как функция от у, то
\шЪп(х)=В(х,у0) (X ?Х).
