Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды - Ревуженко А.Ф.
ISBN 978-5-02-019105-1
Скачать (прямая ссылка):
подобных случаев несколько обобщим принятое в § 31 определение 31.1.
Пусть функция F(X) определена при X е [a, b]. Возьмем равномерное разбиение на отрезки длиной DXn = pn + qn = (b - a) / n. Определение 37.1. Примем, что b
(Pn, qn) j F(X, DXn)DXn = F(a + pn, DXn)DXn +
a
+ F(a + pn + DXn, DXn)DXn +... + F(b- qn, DXn)DXn.
Указание (pn, qn) перед интегралом допускается либо опускать, либо заменять на равносильное.
Теорема 37.1. Если
Ф (X + DX n, DX n) - F(X, DX n)
= F(X + pn, DXn), (10)
DX n
то
b
(pn, qn) j F(X, DXn)DXn = F(b, DXn) - F(a, DXn). (11)
a
Везде предполагается, что (b - a) / DX n — число натуральное.
• Доказательство теоремы тривиально. Подставляем равенства
(10) в (9) и получаем (11). ¦
Таким образом, равенство (11) (при условии выполнения (10)) — это просто тождество, в котором для группы слагаемых введено специальное обозначение с использованием символа интеграла. Коль скоро (11) — это тождество и число n — его параметр, то ничто не мешает применить к обеим его частям оператор предельного перехода Lim при n — w: b
= Lim[F(b,DXn) - F(a,DXn)]. (12)
Lim
n—w
(pn, qn) j F (X, DX n) DX,
Если
p = Lim pn, q = Lim qn, l = Lim(pn + qn),
n—w n— w n— w
то более коротко равенство (12) будем записывать так:
b
(p,q) jF(X,DX)DX = F(b,DX) - F(a,DX). (13)
a
Запись (13) легко отличить от записи типа (9), даже если в последней опустить индекс n. В (9) отношение длины интервала интегрирова-
ния к длине субинтервала равно конечному натуральному числу п, а в (13) это отношение есть актуально бесконечно большое число. На этом основании будем говорить, что в (13) произведено разбиение интервала интегрирования на субинтервалы длиной l и число их является бесконечно большим.
Резюмируем сделанные выше построения в виде теоремы.
Теорема 37.2. Пусть F(X) = f (h,x) — функция, заданная на двух масштабных уровнях неархимедовой прямой: X = h + x = x-1 w + x. Тогда определенный интеграл от нее по интервалу [a, b] равен
b x 2
j F (X) dX = j f (h, x) dx,
a x 1
если a = h + x 1, b = h + x2, и равен
q
l
aa
если
bb (P, q) j F(X)dX = (p, q) j
1 q
- j f (h,x)dx
Dh = F(b) - F(a), (14)
a = h о - P, b = h е + q, h о > h е Функция F(h) определяется уравнением
F(h + l) - F(h) 1
jf (h + p, x) dx, (15)
l l
-p
p, q и l = p + q — параметры интеграла — названы расстояниями до точки горизонта в положительном и отрицательном направлениях оси OX. Если учесть, что
I jf (h, x) dx . j01- q) - j(1. - p>, (h-x) , f (h, x), (16)
M l dx
-p
то формуле (14) можно придать следующий вид:
(p, q) JF(X)dX = (p, q) j j(h, q) ~ j-p) Ah = F(b) - F(a).
a a
Здесь функция F(h) определяется уравнением
F(h + l) - F(h) j(h + р, q) - j(h + р, -p)
l p + q
или, что то же самое,
Ф(п + q) - Ф(п - p) = j(h, q) - j(h, -p) l l '
(17)
(Второй аргумент l у функции Ф не выписан.)
Построенная конструкция удовлетворяет всем перечисленным выше требованиям. Линейность очевидна. Для доказательства согласованности необходимо предположить, что функция непрерывна по типу 1, т.е.
df (h, х) = df (h, х)
dh дх
и, значит, f (h,х) = f (h + х). То есть функция фактически зависит не от двух, а только от одного аргумента. Опираясь на этот факт, необходимо доказать, что интеграл, вычисленный по формуле (14), от величины параметров p, q не зависит. Из (16) следует, что j(h, х) = j(h + х). В этом случае разностное уравнение (17) сразу приводит к следующему решению: Ф(л) = j(h). Таким образом, в рассматриваемом случае интеграл (14) от параметров p, q не зависит. Данный результат становится практически очевидным, если обратиться к теореме 34.1.
Принципиально новый момент состоит в том, что в общем случае интеграл оказывается зависимым не только от интервала интегрирования и вида функции, но также и от расстояний до точек горизонта, т.е. еще от двух свободных параметров, которые должны выбираться из дополнительных соображений. Рассмотрим подробнее степень данной зависимости и ее природу.
Использование криволинейных интегралов. Будем опираться на аналогию, изложенную в § 27. Пусть по-прежнему a = h0 - p, b = h e + q, h 0 < h e. Возьмем теперь несколько более произвольное разбиение интервала на части:
