Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды - Ревуженко А.Ф.
ISBN 978-5-02-019105-1
Скачать (прямая ссылка):
G(a, b) = G(a,X1) + G(X^) + ... + G(Xn-1, b),
G(a,a) = 0, G(a, X + DX) - G(a,X) = G(X, X + DX),
(1)
(2)
где
DX = ^, X = X1,X2,...Xn-1.
n
G (X, X + DX) = F fX + —
I 2
\
, DX DX,
У
(3)
Функция F имеет смысл среднего значения интеграла по субинтервалу (X, X + AX). Краевое условие и уравнение (2) запишутся так:
G
G (Xo,Xo) = 0,
где
Xo, X
AX
G
Xo, X
AX
AX
= F(X, AX),
(4)
v v AX AX v AX D AX
X = X0 + — = a + —,..., X ni + — = b - —
0 2 2 2 2
— середины субинтервалов. В обозначениях, которые приняты выше, можно записать
b
j F(X, AX)AX = G(a, b).
Подведем итог. Задача вычисления интеграла по интервалу [a, b] сводится к вычислению интегралов (3) по субинтервалам и решению разностного уравнения (4) при известном краевом условии. Типичным будет случай, когда решение уравнения будет зависеть от длины субинтервала AX. (Этот аргумент функции G явно не указан.) Формула Ньютона — Лейбница укладывается в данную схему как частный случай, при котором длина субинтервала стремится к нулю и разностное уравнение переходит в дифференциальное.
a
§ 35. Исчисление актуальных бесконечно малых
В классическом анализе проблема определенного интегрирования сводится к поиску функции по ее заданной производной. Данная задача относится к исчислению бесконечно малых.
В неархимедовом анализе более типична ситуация, когда искомую функцию необходимо восстановить не из дифференциального, а из разностного уравнения вида (10) § 31. Здесь можно использовать методы исчисления конечных разностей [117]. Специфика рассматриваемого уравнения состоит в том, что искомое решение может зависеть от длины интервала AX. Кроме того, как правило, аргументы X и AX будут принадлежать к различным масштабным уровням прямой. Основным для нас является случай, когда X принадлежит к вещественному уровню, а AX — к первому микроуровню неархимедовой прямой. В этом случае AX будет актуальной бесконечно малой величиной и процедуру решения уравнения данного типа можно отнести к исчислению актуальных бесконечно малых.
Для определенности возьмем бесконечно малую ДХ порядка E и введем обозначение АХ = р. Придадим уравнению (10) § 31 следующий вид:
Ф(х + р, р) - Ф(х, р)
р
= f (х, р).
где функция f (х, р) задана.
Перейдем к решению. Предположим, что правую часть уравнения можно представить в виде суммы
Тогда
f (х, р) = Х 11 (р) gt (х). t Ф(х, р) = Х 11 (р) Yt (х, р),
где 11 (р) известно, а функция Yt удовлетворяет уравнению Т(х + р, р) - Т(х, р)
р
= g (х).
(1)
Индекс t опущен. Данное уравнение уже проще, чем исходное.
Предположим, что функции Т(х, р), g (х) являются достаточно гладкими и Y может быть представлена в виде сходящегося несчетного ряда
Y^, р) = А0(х) + а1(х)р + 02(х)р2 +...+an(х)рn +... (2)
+ Ow (х) PW + ... + Ov (х )р V + ... .
Продолжая по непрерывности формулу Тейлора на несчетный ряд, получим
2
00(х + р) - 0°(х) = а0(х) + _рajj + р2fl0'+... + р11 о0п)(х) +...
р 2! 3! n!
^w-1
(3)
(w - 1)!
a(w) + a0
Для коэффициентов а1(х)...aw(х)... формулы будут такими же.
Подставим (2) в (1), сделаем замену (3) и сгруппируем слагаемые с одинаковыми степенями р. В результате получим
a2
а0 (х) + р
a0 a i 2
--- + --- + р
_ 2! 1! _
+ р‘
a
(4)
a 3
a1 a2
+ — + — +
a0 a -j
—0 + — + — 3! 2! 1!
+... = g^).
Функция в правой части от р не зависит. Следовательно, все выражения в квадратных скобках должны равняться нулю. Отсюда
0)(х) = j g(x) dx + С0; а1(х)
а0
2!
+ с1;
а2(х) = - 01 - 00 + с2; а3(х) = - 02 - 01 - 00 + с3,..., ^ 2! 3! 2 2! 3! 4! 3
(4)
где с0,с 1,... — постоянные интегрирования. Постоянные дают вклад в разложение (2) в виде произвольной функции р:
С (р) = С0 + С1 р + с 2 р2 + ... .
Таким образом, Y(x, р) определяется с точностью до аддитивной функции от р. Это вытекает непосредственно из структуры (1). Более того, из (1) видно, что решение определяется с точностью до любой функции с периодом р:
С(х + р, р) = С (х, р).
