Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды - Ревуженко А.Ф.
ISBN 978-5-02-019105-1
Скачать (прямая ссылка):
Пусть
As = Lim rsn = Lim / (s, n). (2)
n—w n—w
Следовательно, речь идет о том, чтобы придать смысл повторному пределу
A * = Lim As = Lim Lim / (s, n). (3)
s—w s — w n—w
Похожая проблема возникает и в классическом анализе. Равенство (2) из введения к данной главе определяет предел последовательности только рациональных чисел. Следом возникает вопрос о пределе последовательности вещественных чисел
a 1, «2,...«s,..., (4)
где as = lim rsn. Ясно, что этот вопрос состоит в придании смысла
s n—OT sn повторному пределу
a* = lim lim rsn.
s —от n—от
Последовательности (4) отвечает бесконечная матрица рациональных чисел (rsn). В принципе, на роль предела a* можно было бы взять класс эквивалентности матриц. После этого, однако, возникает вопрос о пределе последовательности подобных матриц и т.д. Понятно, что каждый раз вводить в качестве предела объект новой приро-
ды — бесперспективно. В классическом анализе данный процесс останавливается на первом шаге: предел последовательности
рациональных чисел представляет собой объект более сложной природы, чем рациональное число. Но предел последовательности вещественных чисел уже имеет ту же самую природу, что и любое из чисел данной последовательности.
Примем аналогичный принцип и для пределов элементарных чисел. Следовательно, результатом перехода к повторному пределу должно быть элементарное число той же природы, что и каждое из чисел последовательности (1).
Можно сформулировать ряд естественных условий, которым должно удовлетворять определение повторного предела. Во-первых, должно быть выполнено условие согласованности: если As = rs, где rs — рациональные числа, то определение (3) должно сводиться к обычному пределу
Lim Lim rs = Lim rs. (5)
s — w n—w s — w
Во-вторых, естественно потребовать, чтобы предел стационарной последовательности As = A совпадал с А, т.е.
Lim A = A. (6)
s
Далее необходимо, чтобы понятие предела обладало известными арифметическими свойствами:
Lim(As ± Bs) = LimAs ± Lim Bs,
s s s
LimAs ¦ Bs = LimAs ¦ Lim Bs, (7)
s s s
Lim ^ = LimA^, Bs ф 0, LimBs ф 0.
s Bs Lim Bs s s
Здесь предполагается, что все пределы существуют.
Перейдем теперь к построению повторного предела. Начнем с решения самой простой задачи — описания предела стационарной последовательности As = w. Расположим приближения чисел As в виде матрицы:
A1 1 2 3 4 : n
A 2 1 2 3 4 : n
3 1 2 3 4 : n
A
As 1 2 3 4 : n
Результат нам заранее известен: в качестве предела мы должны получить величину w. Причем для этого мы должны использовать материал всех строк данной матрицы. Виден только один путь получения числа w из представленного материала — это взятие предела последовательности элементов, расположенных на диагонали матрицы. Данная идея приводит к следующей формуле:
Lim Lim f (s, n) = Lim f (m, m). (8)
s — w n— w m— w
Решает ли данная формула проблему? Ответ будет положительным, если ввести дополнительные ограничения. Легко заметить, что объект (8) удовлетворяет условию согласованности (5), условию (6), а также обладает всеми необходимыми арифметическими свойствами (7).
Тем не менее в некоторых случаях формула (8) может дать неверный результат. Приведем пример. Пусть As = w и требуется найти предел стационарной последовательности As, т.е. Lim As. Что такое
s —> w
число As = w? Это класс определенных последовательностей. В частности в класс As входит последовательность
[0 при 1 < n < s, f (s, n) = i
[n при n > s.
Здесь для любого фиксированного s имеем равенство
Lim f (s, n) = w.
n— w
Но с другой стороны,
Lim f (m, m) = 0.
m— w
Поэтому формула (8) приводит к парадоксу:
Lim w = 0. (9)
s — w
Для его разрешения обратимся к опыту классического анализа. Пусть требуется найти предел последовательности вещественных чисел, например предел стационарной последовательности as = 0вещ:
0вещ, 0вещ, 0вещ, *¦* .
По определению каждое из вещественных чисел as является классом эквивалентности последовательности рациональных чисел:
