Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды - Ревуженко А.Ф.
ISBN 978-5-02-019105-1
Скачать (прямая ссылка):
чие как раз и приводит к неупорядоченности) область простирается только на бесконечно малые расстояния. На этом основании действительную прямую будем называть неупорядоченной локально. В целом ее можно представить в виде бесконечно длинного цилиндра. Ось цилиндра — это неархимедова (существенная) прямая. Цилиндр в направлении оси простирается до бесконечности. Поперек оси он простирается только на бесконечно малые расстояния, причем внешняя его граница является размытой.
Следующая характерная числовая подобласть представляет собой существенную прямую, т.е. ось упомянутого цилиндра. Существенная прямая обладает всеми свойствами действительной прямой, кроме тех, которые связаны с аксиомой Архимеда.
Любая из трех описанных выше областей может служить базой математического анализа. Выбор в качестве базы существенной прямой означает, что мы делаем только один шаг в обобщении классического анализа — снимаем ограничения, диктуемые аксиомой Архимеда, но сохраняем линейный порядок. Выбор же в качестве основы анализа действительной прямой означает дополнительный отказ от линейной упорядоченности, но отказ от упорядоченности только в малом, локально. Выбор всего пространства существенных чисел означает переход к числовой области, которая неупорядочена уже глобально. В двух последних случаях числовые области обязательно должны содержать делители нуля.
Построение анализа проще всего начать на основе линейно упорядоченной числовой системы (существенной прямой). Однако ограничиться только этим вариантом не удастся. Внутренняя логика теории приводит к тому, что все равно придется переходить в неупорядоченную числовую область и, значит, вводить делители нуля. Это связано с тем, что линейно упорядоченная область не является замкнутой по отношению к некоторым операциям, в которых участвуют бесконечно большие числа.
Здесь необходимо сделать короткое отступление и рассмотреть данный вопрос подробнее. Известно, что понятие числа развивалось так, чтобы в рамках числовой системы можно было выполнять все необходимые операции. Вначале сформировалось понятие натурального числа. Далее:
1) в области натуральных чисел не всегда выполняется операция вычитания, поэтому вводятся целые числа;
2) в области целых чисел не всегда выполняется операция деления, поэтому вводятся рациональные числа;
3) в области рациональных чисел не всегда выполняется операция предельного перехода, поэтому вводятся действительные числа;
4) в области действительных чисел не всегда выполняется операция извлечения квадратного корня, поэтому вводятся комплексные числа.
Здесь ставится точка. Область комплексных чисел дальше уже не расширяется. В данной области выполняются любые операции, и она удовлетворяет всем потребностям анализа. Казалось бы, круг замкнулся. Но это не совсем так. Теперь мы обращаем внимание на разрешающую способность теории в целом. Мы повышаем разрешающую способность и для этого вводим в числовую систему новое число w — эталонное актуально бесконечно большое число. Рассмотрим прежние операции, но уже с участием числа w. Вычислим, например, epiw. Так как w = Lim n, то можно дать обоснование следующим выкладкам:
e= epiLim n = Lim epin =
= Lim(cospn + i sinpn) = Lim(-1)n = - j.
Тогда
epiw =-j, j2 = 1. (1)
Здесь, как и прежде, j — двойная единица, а (j + 1), (j - 1) — делители нуля. Приближения двойной единицы колеблются между +1и -1: j = Lim(1, -1, 1, -1,...). Таким образом, объект j не может быть линейно упорядочен относительно рациональных чисел. Ситуацию можно представить так, что j «стоит в стороне» от существенной числовой оси, т.е. находится в некотором новом измерении.
Формула (1) означает, что в области существенных комплексных чисел X + iY (X, Y принадлежат существенной числовой прямой) операция возведения в степень выполнима не всегда. Иными словами, указанный выше список операций 1-4 теперь можно дополнить следующим пунктом:
5) в неархимедовой области комплексных чисел X + iY операция возведения в степень выполняется не всегда. Поэтому в числовую область вводятся двойные единицы и, значит, делители нуля.
Есть еще один аргумент в пользу того, что в числовой системе неархимедова анализа следует допускать отклонения от линейного порядка. Он связан с тем, что с точки зрения неархимедова анализа сама действительная прямая не является линейно упорядоченной (локально). Поэтому если заниматься поиском скрытых законов, которые проявляются затем на вещественном уровне, то естественно вначале обратиться к существенной прямой, а затем уже на новом уровне вернуться опять к действительной прямой.
Таким образом, формула (1) показывает, что рано или поздно нам придется обратиться к числовой области, в которой линейного порядка уже нет. Какой должна быть размерность этой области? Если речь идет только об операциях типа (1), то достаточно конечномерной области. (Например, функция exp (r ¦ pin) для рационального r имеет конечный период.)
