Избранные труды - Пуанкаре А.
Скачать (прямая ссылка):
Окончательное выражение 8/' состоит, таким образом, из двух частей: определенного интеграла, который должен быть взят в тех же пределах, что и интеграл и внеинтегрального члена, который я, как принято, поместил в квадратные скобки с индексами 0 и 1, где выражение в квадратных скобках необходимо вычислить для двух пределов интегрирова ния, а затем составить разность.
Предположим теперь, что мы приравниваем нулю выражение, фигурирующее под знаком интеграла в правой части равенства (4). Мы получим дифференциальные уравнения, которые будут в точности уравнениями движения и которым будут удовлетворять все наши траектории и, в частности, кривые (1).
Эти уравнения можно получить бесконечным числом способов, потому что Ьх и 8у — две совершенно произвольные функции.
Мы можем сначала предположить 8а; = 0, откуда ЬР—^Ьу, и наше уравнение запишется, если разделить на Ьyds, в виде
7' = ^ [і? ^(1х2 + 6у2 + ш (хбу — ydx)\,
откуда
87' = | + Р + ш (8xdy — Ьydx) + ев (з$dy — у8йа;)^
йхЪйх + (1уЬ(1у
или, интегрируя по частям,
87' = | [зТ’гія + 2(в (8хЛу — ^х) — Ъxd ^ ^)] +
(4)
СІБ СІБ (ІЗ
(6)
Если бы мы предположили, наоборот, что 8у=0, мы бы нашли
17 А. Пуанкаре, т, II
258
Новые методы небесной механики. III
Эти два уравнения эквивалентны, как легко было предвидеть, и, в самом деле, если их сложить после того, как они умножены соответственно на dy/ds и dx/ds, и если учесть соотношения
fdx Y I ( dvY . Л dx_d^ dy_<Py_ ^
\ds ) ds ) ’ ds ds% ‘ ds ds% ’
то мы придем к тождеству.
Если мы, следовательно, рассмотрим кривые (1), они будут удовлетворять уравнению (6). Если принять во внимание это уравнение, то соотношение (4) примет вид
M-=[F“?±a» +„(l8y
Пусть А2В2, . . ., АпВп— непрерывная последовательность дуг,
принадлежащих кривым (1), концы которых АгА2 ... Ап, В1В2 .. . Вп образуют две непрерывные кривые С и С'.
Пусть AtBt, Ai+1B{+1 — две из этих дуг, бесконечно мало отличающиеся друг от друга. Пусть х, у — координаты точки At, ж + Зл:, у + Зу— координаты бесконечно близкой точки Ai+1.
Пусть J1—действие относительно дуги А{В{, a J'-\-Ы' — действие относительно дуги Ai+1BU1.
Если а — угол, составленный с осью х касательной к кривой A{Bit которая является кривой (1), и если две кривые С и С' удовлетворяют дифференциальному уравнению
F (cos аЗж -f- sin аЗу) + ш (дЗу — уЬх) ~0, (7)
то мы будем иметь
37' =0
и, следовательно,
(Л151)=(ЛА) = . . .-ЙА)-
Кривые, определяемые уравнением (7), могут, следовательно, играть ту роль, которую играли в предыдущем пункте траектории, ортогональные к кривым (1).
Таким образом, мы можем опять взять рис. 11 и предположить, что кривые, проведенные штрих-пунктирной линией, представляют не эти ортогональные траектории, а кривые, определенные уравнением (7). Нам не понадобится тогда ничего изменять в доказательстве.
Однако один момент не является более очевидным. В прямоугольном бесконечно малом треугольнике АдСВ3 я имел
(.СВ3) > (А3В3).
Различные формы принципа наименьшего действия
259
Этот треугольник не является теперь прямоугольным, и, с другой стороны, я изменил определение действия. Сохраняется ли это неравенство опять?
Легко видеть, что это неравенство равносильно условиям (А) п. 341, а мы видели в п. 344, что они выполнены. Таким образом, неравенство имеет место, и наше доказательство сохраняется.
В итоге для того чтобы замкнутая кривая соответствовала действию, меньшему, чем действие вдоль всех замкнутых бесконечно близких кривых, необходимо и достаточно, чтобы эта замкнутая кривая соответствовала неустойчивому периодическому решению первой категории.
359. Сказанное нами по поводу классификации неустойчивых решений по двум категориям требует одного замечания.
С другой точки зрения неустойчивые периодические решения можно разделить на два класса. Решениями первого класса являются те, для которых характеристический показатель а веществен, так что е“г вещественно и положительно, где Т — период.
Решениями второго класса являются те, для которых этот показатель а имеет мнимую часть, равную Ы/Т, так что е“г вещественно и отрицательно.
В предыдущих пунктах мы занимались исключительно неустойчивыми решениями первого класса. Посмотрим, можно ли разделить решения второго класса также на две категории.
Мы можем положить
/ I ^
« = <*' + -у .
где а' — вещественно; и затем мы положим, как в п. 346,
?„ = <>“'% Т)2 = е“'‘фг,
^3 = е~а *Фз' *1з = е
где <р2, 4*2, ?з и фз — вещественные функции от Ь, меняющие знак, когда ? изменяется на ?+7\
Тогда имеем
С (?) = е2“'' I1*2 ~ = е2“''С (?).
' ' 5хФз - ЪЧРз ' '
Числитель и знаменатель С? — функции от ?, которые меняют знак, когда ? меняется на ?+Г.
Таким образом, эти две функции определенно обращаются в пуль и, следовательно, то же имеет место и для
17*
260
Новые методы небесной механики. III
Эти две последние функции удовлетворяют одному и тому же линейному дифференциальному уравнению второго порядка, коэффициенты которого являются периодическими функциями от <, не обращающимися в бесконечность, причем коэффициент при второй производной сводится к постоянной.
