Избранные труды - Пуанкаре А.
Скачать (прямая ссылка):
Итак, если и достаточно мало, и, cos t и sin t будут однозначными функциями от х и у.
Уравнения асимптотических решений записываются в виде
г=зФ(1, Аеа‘),
y = W(t, Ае*‘), (,)
и мы видим, что функциональный определитель
д(х, у)_0(Ф, Чг) «/ г) (t, А) I> (г, Ц) е
Различные формы принципа наименьшего действия
255
не может обратиться в нуль, что означает, что кривые (1) не имеют двойной точки, не пересекаются между собой и не пересекают траекторию (Т) [все это, разумеется, имеет место, если предположить и достаточно малым; это не будет справедливым, если кривые (1) бесконечно продолжить так, чтобы и стало очень большим].
Кривые (1), соответствующие асимптотическим решениям, будут, таким образом, иметь вид спиралей, закручивающихся вокруг (Т). Этот вид представлен на рис. 11. Замкнутая траектория (Т) здесь представлена сплошной линией, но я должен предупредить, что на рисунке имеются две замкнутые кривые, представленные сплошной линией; из этих двух кривых та, которая лежит внутри другой, представляет (Г).
Спиральные кривые (1) представлены пунктирной линией.
Я замечаю, что имеются две системы асимптотических решений, соответствующие двум равным и противоположным по знаку характеристическим показателям.
Эти асимптотические решения второй системы будут спиральными кривыми, аналогичными кривым (1), но закручивающимися в противоположном направлении. Они не представлены на рисунке.
В случае неустойчивого решения второй категории кривые (1) имели бы совсем другой вид; они пересекали бы бесконечное число раз замкнутую траекторию (Т), а точки пересечения составили бы бесконечное множество, имеющее конечное и притом четное число предельных точек. Эти предельные точки соответствовали бы значениям 1п, рассмотренным в п. 349.
357. Вернемся к неустойчивым решениям первой категории и асимптотическим решениям первой системы, представленным на рис. 11. Я задаюсь целью установить, что действие является меньшим для (Т), чем для всякой бесконечно близкой замкнутой кривой.
Я рассматриваю произвольную замкнутую кривую, бесконечно мало отличающуюся от (Т). Эта кривая, которую я назову (Т'), представлена на рис. 11 замкнутой сплошной кривой, лежащей вне (Г) и проходящей через точки С и В3.
Ограничимся сначала случаем абсолютного движения. В этом случае мы имеем следующую хорошо известную теорему.
Пусть А^В^, А2В2, . . ., А^п — непрерывный ряд дуг траекторий.
Концы этих дуг лежат на двух кривых
А1А2...Ап, ВХВ2. ..Вп.
Если эти две кривые пересекают под прямым углом траектории Л^!, А2В2, А'ВЯ, то мы будем иметь
(А1В1) = (А2В2) = ...=(АпВ„), обозначая всегда символом (АгВг) действие, соответствующее дуге А1В1.
256
Новые методы небесной механики. III
Построим, таким образом, траектории, ортогональные к кривым (1). Дифференциальным уравнением этих траекторий, которые я назову кривыми (2), будет
/ЙФ2 . <*Ч'2\ . /йф <гФ . (IV йфл,, , ... . /сгф2 сгф-2\ „ „
Ы +'-**)'й1 + Ы '+-аГЧГ) + ЛГ«) лиЛи ='°- (3)
Через каждую точку плоскости проходит одна и только одна кривая (2), лишь бы и было достаточно мало. Иначе могло бы быть только в том случае, если бы коэффициенты при д,Ь и йи обращались в нуль одновременно, что может иметь место, только если функциональный определитель от Ф и Ч' по г и м обращается в нуль; мы же видели, что это не так. Кривые (2) представлены на рис. 11 штрих-пунктиром.
Пусть А1А2...Аь, В1В2...Въ — две из этих бесконечно близких кривых; они вырезают на (Т) дугу А2В2, на кривых (1) — дуги А^Вг, А3В3, А4.В4, АьВа, на (Г) — дугу СВ3.
Для моей цели мне достаточно установить, что действие (СВ3) больше, чем для соответствующей дуги АгВг траектории (Г).
Мы имеем, в самом деле,
(А2В^=(А3В3),
а в бесконечно малом криволинейном прямоугольном треугольнике А3СВ3
(СВ3) > (А3В3).
Таким образом, имеем
(СВ3) > (А3Вг),
и, следовательно,
действие (Т') > действия (Г), что и требовалось доказать.
358. Остается посмотреть, сохраняется ли тот же результат для относительного движения.
Необратимость уравнений составляет, очевидно, значительную разницу по сравнению с предыдущим случаем. Действие для какой-нибудь дуги АВ не является более тем же самым, что для той же дуги при обходе ее в противоположном направлении. При этом если какая-нибудь кривая удовлетворяет дифференциальным уравнениям, то это не имеет места для той же кривой при обходе в противоположном направлении.
Наконец, траектории, ортогональные к кривым (1), не обнаруживают более того фундаментального свойства, которое я сформулировал в предыдущем пункте. Но есть другие кривые, которые я сейчас определю и которые обладают этим свойством. Этого достаточно, чтобы результат предыдущего пункта сохранил силу.
Различные формы принципа наименьшего действия
257
В п. 340 мы нашли выражение действия
Г =( О у/Я0 + А + «в' (Мі| —
Для простоты я положу \/Н0 -(- к = Р\ я обозначу координаты не через Е и т], а через х я у, чтобы приблизиться к обозначениям, примененным в предыдущих пунктах, и угловую скорость не через о)', а через ш, отбрасывая штрих, ставший ненужным. Тогда я получу
