Избранные труды - Пуанкаре А.
Скачать (прямая ссылка):
Л (У. Л&). ???• F4^)
будут интегралами уравнений (2) и будут однородными первой степени относительно Пусть теперь
0(®lf Ф2, фр; F-у, F2 = о [ф*. F,]
— функция от Ф и F, зависящая от Ф любым образом, но однородная первой степени относительно F.
Тогда функция
в[Ф*. *?,&)]
будет новым интегралом уравнений (2); кроме того, она будет однородной функцией первой степени относительно Отсюда следует, что
J в [Ф„ F, (dxt)\
— интегральный инвариант первого порядка уравнений (1).
Можно было бы прийти столь же легко к тому же результату, преобразуя инварианты заменой переменных п. 237.
Например.
5(л+^,+ +f,)
и
5 \//'l + FI+ ...+FI будут интегральными инвариантами.
26
Новые методы небесной механики. III
246. Эти же вычисления можно применить к инвариантам более высокого порядка.
Пусть снова
Ф2......
р интегралов уравнений (1) и
| Рг (с1х^хк), ^ Р2 .. ., Л {йх^х^)
?— ц интегральных инвариантов второго порядка. Р будут функциями х{ и произведений дифференциалов
Они будут однородными первой степени относительно этих произведений.
Тогда
будут интегралами системы (6) п. 243.
Если теперь
в [Ф,, ^|]
есть какая-либо функция от Ф и однородная первой степени относительно Р, то выражение
0[ф*. -мм;-ад
будет интегралом тех же уравнений (6); кроме того, оно будет однородным первой степени относительно определителей
Отсюда следует, что двойной интеграл
5 9 [Фр.. Р1 {йх^хк)\
будет интегральным инвариантом второго порядка уравнений (1).
247. Таким образом, мы имеем средство, зная несколько инвариантов одного и того же порядка, комбинировать их так, чтобы получить другие инварианты того же порядка.
Тот же способ позволяет, если известно несколько инвариантов одного и того же порядка, получить новые инварианты другого порядка.
Интегральные инварианты
27
Пусть, например,
5 1<\ (с?.г,.), { Ра@х,)
— два интегральных инварианта первого порядка; я предполагаю, и ото есть наиболее общий случай, что Рх и F2 — линейные и однородные функции от дифференциалов <1хг
Выражения
*’,&)- (Е()
будут однородными функциями первого порядка относительно I,. и они будут интегралами уравнений (2).
Аналогично
будут интегралами уравнений (6).
Отсюда вытекает, что
(Ю)
будет интегралом системы (6).
Так как Рг и Р2 линейны относительно то будем иметь
лв+Е;)=/',1&)+*,1 (е;).-^(е« + е;) = ^(е() + ^(е;).
Отсюда следует, что выражение (10), которое, кроме того, меняет знак при перестановке ^ и ?', не изменяется при замене ^ на
Отсюда мы делаем вывод, что это выражение (10) — линейная и однородная функция от определителей
е,е;-у;,
причем коэффициенты зависят только от Ху но не от ? и
Следовательно, из выражения (10) можно вывести интегральный инвариант второго порядка уравнений (1).
Пусть теперь
| /^1 {Зх^у ^ I12 {д,х^хк)
— два интегральных инварианта уравнений (1), один — первого порядка, а другой — второго. Я предположу, что и — линейные и однородные функции: первая — относительно п дифференциалов йхвторая — относительно п (п — 1)/2 произведений
<1х{с1хк.
28
Новые методы небесной механики. III
Функции
Fi(u -ми;-и;)
будут интегралами системы (6).
Выражение
Fi (U h т. - е;ез+л (е;) ^ (е;е, - е;е,) + ^ (еэ ^ (е4е; - efce;) (i i)
будет интегралом системы (7).
С другой стороны, легко проверить, что оно будет линейным и однородным относительно определителей
Е- Е' Е"
Е Е' Е"
sfc ?
Е Е' 5"
5f -I 5f
Поэтому из него можно вывести интегральный инвариант третьего порядка.
Пусть теперь
J {dx.dx^j, ^ F2 [dxjdx^j
— два инварианта второго порядка уравнений (1).
Мы выведем из них два интеграла уравнений (6), а именно:
Л(Е&-е*е;), ^(Е,е;—е*е;).
что я смогу записать для краткости
(ЕЕ'). ^,(ЕЕ').
Тогда выражение
F, (ЕЕ') F2 (РЕ') + F, (РЕ') F2 (ЕЕ') + F, (ЕЕ") F2 (E'E') + Рг (E'E') F, (ЕЕ") +
+ Рг (ЕЕ'") F2 (E'E") + F, (E'E") F2 (ЕЕ') (12)
будет интегралом системы, полученной присоединением к уравнениям (7) уравнений
*е; __ у лхъ р
dt dXf * ’
Сверх того, это будет линейная и однородная функция относительно определителей, составленных из четырех величин Е,- и соответствующих величин Ер Е,', Е-''.
Я продолжаю предполагать, разумеется, что Рг и Рг однородны и линейны относительно произведений dx(dxk.
Следовательно, из выражения (12) можно вывести интегральный инвариант четвертого порядка.
Интегральные инварианты
29
Следует отметить, что этот инвариант не становится тождественным нулем, если предположить, что
рг=р3.
Тогда выражение (12), деленное на два, сводится к
Л (ЕЕ') Л (Е*Е') + (ЕЕ") Л (Е'Е') + Л (ЕЕ') Рг (Е'Е").
Поэтому из инварианта второго порядка всегда можно вывести инвариант четвертого порядка; тем же способом из него получим инвариант шестого порядка; и вообще, получим из него инвариант порядка 2р (где 2р — любое четное число).
248. Пусть вообще
5 ^ 1 ^
— два любых инварианта уравнений (1), первый — порядка р, второй — порядка д.
Я предполагаю, что Рг и — линейные и однородные функции, первая — относительно произведений р дифференциалов с1х, вторая — относительно произведений q дифференциалов.
