Избранные труды - Пуанкаре А.
Скачать (прямая ссылка):
Предположим, что Р и Рг — интегралы уравнений (2) и что, следовательно,
5^-. 5^
— интегральные инварианты системы (1).
Рассмотрим форму
р-щ,
где /. — неопределенный множитель. Приравняв дискриминант этой формы пулю, мы получим алгебраическое уравнение степени п относительно X, корни которого будут, очевидно, абсолютными инвариантами системы форм Р, Следовательно, они будут интегралами уравнений (1).
Но это не все; пусть Х2, . . ., 1и — эти корни, тогда Р и Рг могут быть представлены в виде
Н — ^.<4^ -[-
Рг = А* + А1+ ... + А*Я,
где А1} Аг, . . ., Ап —^линейные формы, которые можно определить чисто алгебраическими операциями. Ах, Л2, . . ., Ан можно рассматривать как коварианты нулевой степени системы Р, так что
I ^ А*' ^ Ап
— интегральные инварианты уравнений (1), если обозначить через А\ результат замены в А( переменных дифференциалами скс(.
42
Новые методы небесной механики. III
Одпако существует исключение, если уравнение относительно X имеет кратные корни. Если, например, Хх равно X,, то нельзя утверждать более, что
\Л[, | к
— интегральные инварианты, а только что
I Уа? + а?
— интегральный инвариант.
Пусть теперь
5 2 А>, кЛх^хк, 5 2 кЛх,йхк
— два интегральных инварианта второго порядка.
Две билинейные формы
ф=2^.ли;-и;).
будут интегралами (2) и (2Ь1б).
Самый интересный случай тот, когда п четно; пусть, следовательно, п=2т.
Рассмотрим форму
Ф —ХФД
и приравняем ее определитель нулю. Мы получим алгебраическое уравнение относительно X степени п=2т; но левая часть этого уравнения есть полный квадрат, так что оно приводится к уравнению порядка т. Его пъ корней
X], ^2« • ?
будут по той же причине, что и выше, интегралами уравнений (1).
Теперь можно представить Ф и Фх в виде
|ф= 2 мла-см.
<=1
*1 = 2(ад-еЛ
где Р< и Qi — 2пъ линейных полиномов относительно с, а Р\ и — те же полиномы, в которых ? заменены на 6'.
Интегральные инварианты
43
Тогда выражения
Л01 - (?хР[; Р& - <?№ ? • ?; Р,Дп - (?тР'т
будут ковариантами системы Ф, Ф! и, следовательно, интегралами уравнений (2), (2Ыз), которым будут соответствовать интегральные инварианты.
Если уравнение относительно X имеет кратные корни, то будет иметь место исключение.
Если имеем, например,
то уже нельзя утверждать, что два выражения
Р$1 — Р'$\1 РДъ — Р'гО 2
— интегралы уравнений (2), (2Ыз), но только что их сумма
Р10] Р$1 + Р202 Р202
— интеграл уравнений (2), (2Ыз).
Глава XXIII ПОСТРОЕНИЕ ИНВАРИАНТОВ
Применение последнего множителя
254. Прежде всего, имеется интегральный инвариант, который образуется очень легко, когда известен последний множитель дифференциальных уравнений.
Пусть
— наши дифференциальные уравнения.
Предположим, что существует такая функция М от дг1, х.,,.....г;),
что имеем тождественно
есть интегральный инвариант. Действительно, допустим, что мы проинтегрировали уравнения (1), выразив хи хй, . . . , хп в функции от ? и га постоянных интегрирования
?tj, ctg, . . ., xri‘
интеграл J примет вид
где А — якобиан, или функциональный определитель переменных х относительно а; тогда получим
d (MX,) d (МХ.г) _ , d (MX,,) 0
/7 T . rl 'r.. ^ ^ И ~r
dx{ dx<> ' ’ ' dx„
Эту функцию М называют последним множителем.
В таком случае я утверждаю, что интеграл порядка ?г
J = j MAda{da2 . . . dan,
Построение инвариантов
45
Но
<ША
<И
(И ’
ІМ
Ш А< Лхі
С другой стороны,
д =
йх1 йхч (1х„
сіа. йа, ' ' ' (1а
Я записываю только первую строку этого определителя; остальные получаются заменой на а2, а3, . . . , ан.
Следовательно, Д -|- & ^ должно быть якобианом
относительно постоянных к; он будет равен произведению якобиана от х< относительно и, т. е. Д, на якобиан относительно перемен-
ных хкоторый я обозначу через Б\ я записываю
Но якобиан Б легко составить; элементы главной диагонали конечны, элементы, принадлежащие Си строке и г-му столбцу, записываются в виде
Остальные элементы бесконечно малы; элементы, принадлежащие г-й строке и к-му столбцу (г к), записываются в виде
Отсюда следует, что если пренебречь членами порядка гі/2, получим
д _і_ ц — д . о
ас
откуда
Отсюда заключаем аМА . V
4G
Новые методы небесной механики. III
откуда, наконец,
dJ
dt
=-0,
что и требовалось доказать.
Уравнения динамики
255. В случае уравнений динамики легко составить большое числоинтегральных инвариантов. Действительно, мы научились в п. 56 и следующих составлять некоторое число интегралов уравнения в вариациях, а в предыдущей главе мы узнали, каким образом из них получить интегральные инварианты.
Первым интегралом (уравнение (3), т. ], стр. 147) является следующий:
?»ift — ^1 + ’'Ь-г — + ???-?= const.
Из него получается следующий интегральный инвариант:
/ j = j {dx1dy1 + dx2dy2 + . .. + dxndyn).
Он второго порядка и очень важен для последующего. Немного далее (также на стр. 147, т. I) я получаю второй интеграл, который записываю в виде
: const
Интегральный инвариант, который я вывожу из него, — четвертого порядка и записывается так:
6* К % і: * %
71< V* и Vi т Vi
К К ут Ч
vk г/ vk ю vk
h = J '^ldxtdyidxkdyk.
