Как решать задачу - Пойа Д.
Скачать (прямая ссылка):
Мы можем встретиться и с возможностями другого рода. В частности, может оказаться, что решение некоторой «задачи на нахождение» связано с решением некоторой «задачи на доказательство». Мы лишь упоминаем о возможности такого важного случая, воздерживаясь за недостатком места от подробного его изучения.
10. Лишь несколько коротких замечаний можно сделать относительно «задач на доказательство»; при этом будет очевидна полная аналогия тому, о чем мы подробно говорили, рассматривая «задачи на нахождение» (п. 2—9).
Уяснив себе как целое некоторую «задачу на доказательство», нам, вообще говоря, следует рассмотреть ее главные элементы. Главными элементами теоремы, которую нам предстоит доказать или опровергнуть, являются ее предпосылка1 и заключение. Мы должны как следует понять эти элементы.
Какова предпосылка теоремы? В чем состоит ее заключение? Если возникает необходимость рассмотреть какие-либо частные детали, можно разделить предпосылку теоремы на ее части и рассмотреть каждую часть в отдельности. Затем можно перейти к другим деталям, осуществляя все большее разложение задачи.
Разложив задачу, мы можем попытаться вновь объединить составляющие ее элементы некоторым новым образом.
1 Здесь мы пользуемся термином, принятым С. А. Богомоловым в его книге «Геометрия» (систематический курс), Учпедгиз, 1949. Вместо термина «предпосылка» в нашей литературе, впрочем, чаще применяется термин «условие». Последний в нашем контексте оказывается неудобным,так как это слово постоянно используется в настоящей книге для обозначения отношений, связывающих между собой данные и искомые элементы в «задачах на нахождение». В оригинале в этих двух случаях применяются, соответственно, термины hypothesis и condition. (Примечание к русскому переводу.— Ред.)
165
В частности, можно попытаться составить из них новую теорему. Здесь существуют три возможности.
1) Мы сохраняем заключение теоремы, изменяя ее предпосылку. Прежде всего мы попытаемся припомнить такого рода теорему:
Рассмотрите заключение! И попытайтесь вспомнить знакомую теорему с тем же или подобным заключением. Если нам не удается вспомнить такую теорему, мы пытаемся ее придумать: нельзя ли придумать другую предпосылку, из которой можно было бы легко вывести заключение? Можно изменить предпосылку, что-либо в ней опуская, но ничего не прибавляя. Сохраните лишь часть предпосылки, отбросив остальную часть; останется ли при этом заключение справедливым?
2) Мы сохраняем предпосылку, меняя заключение. Нельзя ли извлечь что-либо полезное из предпосылки?
3) Мы изменяем и предпосылку и заключение теоремы. Возможно, что мы пришли к необходимости изменить то и другое вследствие безуспешных попыток изменить что-либо одно. Нельзя ли изменить предпосылку теоремы или ее заключение, или, если необходимо, то и другое, так, чтобы новая предпосылка и новое заключение оказались ближе друг к другу?
Мы не делаем здесь попыток классифицировать различные возможности, возникающие в случае, когда мы, пытаясь решить исходную «задачу на доказательство», вводим две (или более) новые задачи этого рода или когда мы связываем рассматриваемую «задачу на доказательство» с некоторой «задачей на нахождение».
Рассмотрите неизвестное. Это старый совет; подобное латинское выражение гласит: «respice finem», т. е. «смотри на конец». Помните о своей цели. Не забывайте о ней. Думайте о том, чего вы добиваетесь, не выпускайте из поля зрения то, что требуется от вас в задаче. Всегда имейте в виду цель, к которой вы стремитесь. Рассмотрите неизвестное. Рассмотрите заключение. Эти последние два варианта латинского «respice finem» сформулированы применительно именно к математическим задачам, соответственно к «задачам на нахождение» и к «задачам на доказательство».
Сосредоточивая все свое внимание на цели и напрягая свою волю для достижения успеха, мы обдумываем пути и средства, при помощи которых мы можем добиться его, Ka-
166
кими средствами мы можем прийти к успешному концу? Как можно добиться поставленной цели? Каким образом можно получить такой результат? Какие причины могут привести к такому результату? Где вам встречался подобный результат? Что обычно предпринимается для получения такого результата? И постарайтесь припомнить знакомую задачу с тем же или подобным неизвестным. И постарайтесь припомнить знакомую теорему с такими же или подобными заключениями. Опять-таки эти последние два совета соответственно относятся именно к «задачам на нахождение» и к «задачам на доказательство».
1. Мы будем рассматривать математические задачи, «задачи на нахождение», и совет: постарайтесь припомнить знакомую задачу с таким же неизвестным. Сравним этот совет с аналогичным советом, содержащимся в вопросе: не знаете ли вы какой-нибудь сходной задачи?
Последний совет носит более общий характер, чем первый. Если две задачи родственные, то они имеют что-то общее; они могут содержать ряд общих элементов или понятий или иметь общими какие-нибудь данные или часть условия и т. д. Наш первый совет исходит из того, что у обеих задач именно неизвестное является общим, т. е. неизвестное в обоих случаях должно быть объектом одной категории, например длиной отрезка прямой линии.
