Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
P
Черт. 71. Черт. 72.
22. Рассмотрим график обратной пропорциональности
1
у = т-
Определим функцию f (х) следующим образом:
а) /(I)-O;
б) если X > 1, то f (х)— положительное число, равное площади криволинейной трапеции ABCD (черт. 72), вершины которой имеют координаты
A(I1 0), 5(I1 1), с(х9 ^)1 D(X1 0);
в) если 0 < х < 1, то f (х) — отрицательное число, равное по абсолютной величине площади криволинейной трапеции с вершинами
Е(х, 0), f(x, I)1 B(I, 1), A(I, 0).
Доказать, пользуясь свойствами гиперболического поворота, что f (х) — логарифмическая функция.
Указание. Пусть а и b — два произвольных положительных числа. Рассмотрим случай, когда а > 1 и b > 1. Рассмотрим гиперболический поворот, при котором точка A(I1 0) переходит в точку A(P1 0); тогда точка D(а, 0) перейдет в точку D' (ab, 0). При указанном гиперболическом повороте криволинейная трапеция ABCD перейдет в криволинейную трапецию A'BrCrDr, и в силу того, что при гиперболическом повороте сохраняются площади, мы будем иметь
пл. ABCD = пл. A'ETC'D'.
Отсюда
пл. ABCD+-ил. АВВгА' = ш. ABC'Dr, f(a)+f(b) = f(ab).
§ 9. СЖАТИЕ, СДВИГ, ПЕРСПЕКТИВА, ГОМОЛОГИИ
227
Далее легко видеть, что при а > 0 мы будем иметь
Отсюда нетрудно установить, что равенство
f(a)-\-f{b) = f{ab)
верно при любых а > О, b > 0 (далее см. С. И. Новоселов, Специальный курс элементарной алгебры. «Советская наука», 1951 г., гл. VII — Показательная и логарифмическая функции над полем действительных чисел, § 92 — Характеристическое свойство показательной функции, стр. 474.)
23. Сжатие пространства к плоскости определяется аналогично тому, как в задаче № 1 было "определено сжатие плоскости к прямой. Фиксируем в пространстве плоскость тг; фиксируем положительное число k. Пусть M — точка пространства, не лежащая на плоскости тс. Обозначим через P основание перпендикуляра, опущенного из точки M на плоскость тг. Возьмем на луче PM точку Мг такую, что
РМ' U /A4
~~РМ~ ~ ' (д)
и поставим точке M в соответствие точку М\ Каждой точке M плоскости тг поставим в соответствие ее самое*. Аналогично определяется косое сжатие пространства к плоскости (лучи PM выбираются все параллельными фиксированной прямой, пересекающей плоскость тг). Доказать, что при сжатии пространства к плоскости:
а) прямая переходит в прямую;
б) плоскость переходит в плоскость.
24. Рассмотрим множество всех прямых и плоскостей пространства, проходящих через фиксированную точку О пространства (связка прямых и плоскостей). Фиксируем в связке плоскость тг и произведем косое сжатие пространства к плоскости тс по направлению какой-нибудь прямой связки, не лежащей в плоскости тс. Тогда каждая прямая связки перейдет в некоторую прямую той же связки. Каждая прямая связки, лежащая в плоскости тг, перейдет в себя. Кроме того, в себя перейдет та прямая связки, по направлению которой производится сжатие. Будем прямые связки обозначать буквами а, Ь, с, d, плоскости связки — буквами а, ?, т, о, .... соответствующие же им прямые и плоскости, в которые они перейдут после сжатия, будем обозначать буквами а', V1 с', d\ . . . и a7, ?', т', с/, ... Проведем плоскость, не проходящую через центр связки. Пусть эта плоскость пересечет плоскость тг по. прямой /, а прямую связки, по направлению которой производится сжатие, — в точке S. Пусть секущая плоскость пересечет прямые а, Ь, с, d, ... и прямые а\ b't с\ d',. . . в точках A1 B1 С, D, А\ В\ С, D\ ... Поставим в соответствие точкам A1 B1 C1 D1 . . . точки А\ Bf, C1 Df, . . . Это соответствие точек в секущей плоскости называется гиперболической гомологией. В силу свойств сжатия пространства к плоскости и определения гиперболической гомологии мы можем заключить, что:
а) в гиперболической гомологии есть прямая /, каждая точка которой переходит в себя. Эта прямая / называется есью гомологии;
б) в гиперболической гомологии есть еще одна точка S1 не лежащая на оси гомологии /, которая также переходит в себя. Эта точка 5 называется центром гомологии.
PM'
* Соотношение (А) можно обобщить: = k\ здесь на к ограничение: к ф 0.
PM
См. подстрочное примечание к стр. 220. • 15*
228
Планиметрия. Гл. XIX. ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ
Доказать, что:
а) при гиперболической гомологии прямая переходит в прямую;
б) каждой точке А плоскости соответствует точка А', лежащая на прямой SA;
в) гомология вполне задана, если заданы ее центр S, ось / и пара соответственных точек А и А', т. е. что можно геометрически для каждой точки В построить точку В\ ей соответствующую; как выполнить это построение?
г) Во что превращается гиперболическая гомология, если точка 5 — бесконечно удаленная (т. е. указанная выше секущая плоскость параллельна прямой, по направлению которой производится сжатие)?
д) Во что обращается гиперболическая гомология, если ось гомологии— бесконечно удаленная прямая (т. е. секущая плоскость параллельна плоскости, к которой производится сжатие)?
25. Сдвиг пространства относительно плоскости по н.травлению прямой, параллельной этой плоскости, определяется аналогично тому, как в задаче № 17 было определено преобразование сдвига плоскости относительно прямой, а именно: фиксируем в пространстве плоскость прямую /, параллельную этой плоскости, и фиксируем положительное число k. Пусть M — произвольная точка пространства, не лежащая на плоскости тг. Поставим ей в соответствие точку M' такую, что отрезок MM' параллелен прямой / и его длина равна kd, где d — расстояние от точки M до плоскости тг. Для всех точек М, N, Р, .... лежащих по одну сторону от плоскости тг, будем преобразованные точки M', Л/', P', ... выбирать так, чтобы направления отрезков MMr, NN', PP', . . . были одинаковы, для точек же M и К, лежащих по разные стороны от плоскости ти, будем преобразованные точки M' и К' выбирать так, чтобы отрезки MM' и KK' имели бы противоположные направления. Каждой точке плоскости тг ставим в соответствие ее самое. Доказать, что при сдвиге
