Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
4. Построить ромб с данной диагональю, которая лежала бы на данной прямой так, чтобы другие две вершины лежали на данных двух окружностях.
5. Прямая MN пересекает отрезок AB в точке С. Найти на прямой MN точку, из которой отрезки AC и CB видны под равными углами.
6. Построить четырехугольник ABCD1 зная его стороны, если диагональ AC делит угол Л пополам.
7. Найти на основании равнобедренного треугольника точку, разность расстояний которой до боковых сторон треугольника равна данному отрезку.
8. Дан треугольник ABC. Найти точку X такую, чтобы вокруг четырехугольника ABCX можно было описать окружность и чтобы в него можно -было вписать окружность.
9. Построить ромб, зная его периметр и разность диагоналей.
10. На данной окружности найти точку, сумма расстояний которой до двух данных прямых равна данной длине.
218
Планиметрия. Гл. XIX. ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ
11. Вписать в данный круг трапецию, зная ее высоту и разность оснований.
12. В данный треугольник вписать прямоугольник данного периметра.
13. В окружность вписать равнобедренный треугольник, зная сумму его высоты и основания.
14. В данный сегмент вписать прямоугольник данного периметра.
§ б. Метод параллельного переноса
1. Через две данные точки окружности провести две параллельные хорды, разность которых дана.
2. Построить четырехугольник, зная три его стороны и углы, прилежащие к четвертой стороне.
3. Построить четырехугольник, зная его диагонали, две противоположные стороны и угол между ними.
4. С корабля два маяка видны под известным углом. После того как корабль в известном направлении прошел данное расстояние, они стали видны под другим, также известным, углом. Найти построением местонахождение корабля.
5. В окружности даны хорды AB и CD. Построить на окружности такую точку X1 что AX и BX высекают на CD отрезок данной длины.
6. Построить трапецию, зная диагонали и непараллельные стороны.
7. Построить треугольник, зная:
* а) B1 та, тс; з) ha1 hb1 та\
б) та% mbt L(JtI^ mb)\ и) A1 та1 ha\
в) та, ть% тс; к) та1 ha1 hb : b\
г) ha1 hc, mb; л) a% ha. ^(mb1 c);
д) ma, mc% ha; м) A, ha1 mb;
е) ha> K mc> H) K K L (?>> ma)-
Ж) ma> mc> L (тЬ>
8. Построить четырехугольник, зная две его диагонали, угол между ними и две какие-либо стороны.
9. Построить трапецию, зная ее диагонали, угол между ними и одну из сторон. 10. Построить трапецию, зная ее диагонали и две параллельные стороны.
§ 6. Метод вращения
1. Построить четырехугольник, зная его стороны и зная, что вокруг него можно описать окружность.
2. Построить четырехугольник ABCD1 зная AB1 AD1 Z-B1 ^D п зная, что в этот четырехугольник можно вписать окружность.
3. Провести секущую данного направления, на которой две данные окружности высекают хорды так, что их разность равна данному отрезку.
4. Даны окружность и точки А и В. Провести к данной окружности касательную так, чтобы расстояния точки А до этой касательной и до перпендикуляра, проведенного из точки В к касательной, были равны между собой.
5. Построить четырехугольник, зная AB: AD, B^D1 AC1 ВС и разность углов ВАС и DAC
в. В данный параллелограмм вписать треугольник, подобный данному.
7. В квадрат вписать равносторонний треугольник.
8. Построить треугольник, подобный данному, одна из вершин которого лежит в данной точке, а две другие —на данных окружностях.
9. В данный прямоугольник вписать ромб с данным отношением диагоналей. 10. Даны прямые AR и BQ. Через данную точку M провести прямую MN1
пересекающую данные прямые в точках XnY таких, что отношение АХ: BY равно данному числу (точки AnB заданы).
§ 8. АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ МЕТОД
219
11. На плоскости даны точки A9 B9 C9 D. Найти точку О такую, чтобы треугольники AOB и COD были подобны и углы при вершине О равны между собой.
12. Даны окружности (O1), (O2), (O3) радиусов R19 R2, R3. Построить треугольник ABC, равный треугольнику O1O2O3, так, чтобы вершины A9 B9 С лежали на данных окружностях.
13. Построить четырехугольник, зная его углы и диагонали.
14. Даны 4 луча, выходящих из одной точки. Построить параллелограмм с данными сторонами так, чтобы его вершины лежали на данных лучах.
§ 7. Метод инверсии
1. В данную окружность вписать четырехугольник, стороны которого проходили бы соответственно через четыре данные точки, лежащие вне окружности.
2. В данную окружность вписать треугольник, стороны которого проходили бы через три данные точки, лежащие вне окружности.
3. Построить окружность, касающуюся трех данных окружностей.
4. Построить треугольник, зная
а) А, а и BD- AB9 где BD = ho;
б) А — C9 ас п hb.
б. Через две данные точки провести окружность, пересекающую данную окружность под данным углом.
6. Через данную точку провести окружность, касающуюся двух данных окружностей.
7. Три данные окружности проходят через одну точку. Построить окружность, пересекающую их под данным углом.
8. Построить окружность, пересекающую две данные пересекающиеся окружности под данными углами и касающуюся третьей данной окружности.
