Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
но rUtg2 8 = PU]. Наконец эксцентриситет гиперболы (G) равен ^ .
П. Углом между двумя пересекающимися окружностями назовем острый угол между касательными к ним в точке их пересечения.
Г. Огибающая (E) окружностей (О), соответствующих данному углу б.
tc
Рассмотрим сначала частные случаи 0=0 и 0 =-^-; будем различать две возможности— лежит ли точка P на окружности (со) или нет.
а) Точка P лежит на окружности (<о). Если 0=0, то множество окружностей (О) состоит из всех окружностей, касающихся (со) в точке Р. Если 0 = -^-,
то множество всех окружностей (О) состоит из всех окружностей, касающихся «Я в точке со.
g) Точка P не лежит на окружности (со). Если 0 = 0, то окружности (О) касаются окружности (со) и .через каждую точку (со) проходит и притом только одна
окружность (О). Огибающей будет (со). Если 0 = , то окружности (О) ортогональны (со), они проходят, следовательно, через вторую фиксированную точку P' — основание поляры точки P относительно (со). Эти окружности образуют пучок с базисными точками P и Я'. Огибающей нет. Исключим эти частные случаи, т. е.
tc
будем считать, чтоО<0<2-; будем снова различать два случая.
Y) Точка P лежит на (со). Пусть (7") — касательная к (со) в точке Л a (T1) и (T2)— две прямые образующие с (T) угол 8. Множество окружностей (О) состоит из всех окружностей, касающихся (T1) в точке Я, и всех окружностей, касающихся (T2) в точке Р.
5) Точка P не лежит на (о>). Произведем инверсию с полюсом P и степенью инверсии, равной Ясо2 — р2 = 4d2 — р2. В этой инверсии окружность (со) переходит в себя, а окружности (О) переходят в прямые (о), пересекающие (со) под постоянным
636 Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ'
углом 6. Если (О) пересекает (со) в точках А и В, то прямая (Ь) есть А'В\ где Л' и В' суть вторые точки пересечения PA и Я/3 с (со). Огибающая прямых (о) есть окружность (E') с центром со и радиусом р cos 6; значит, огибающей окружности (О) будет образ (E') в указанной инверсии. Уточним положение точки E и найдем величину радиуса окружности (E). Центр E окружности (E) есть образ в указанной инверсии основания поляры E' точки P относительно (E'). Имеем
PE-VE' = 4d2 — р2. Но PE' ¦ Pu == 4d2 — о2 cos2 8, значит PE = P^ ""P2 в
1 4а2 — р2 cos2 O
Это соотношение определяет положение точки Е. Радиус (E) находим из про-
порции
р cos O
PE
4d2 — р2
откуда
4d2 — о2 I
р cos 9.
4d2 — р2 cos2 o
Ad2 — P2COS2O
Докажем", что окружности (О) принадлежат одному пучку. Окружности (E') принадлежат пучку концентрических окружностей с центром со; все они ортогональны прямым, проходящим через to; образами этих прямых будут окружности, проходящие через P и через точку со', полученную из со указанной инверсией. Окружности (E)1 будучи ортогональными окружностям, проходящим через P и to', будут сами образовывать пучок с предельными точками Я и со'.
TC
Замечание Если 8 изменяется от О до , то окружности (?') — это все
окружности с центром со, лежащим внутри (со); граничными окружностями служат сама окружность (ш) и <окружность-точка> со. Окружности (E) не заполняют, таким образом, всего пучка окружностей с предельными точками P и со'. В самом деле: 1) Если P вне (со), то со' — внутри (со) и окружность (E) пробегает часть множества тех окружностей пучка с предельными точками со' и P1 которые окружают со'; граничными окружностями для (E) являются сама окружность (со) и <<окружность-точка» со'. 2) Если точка P лежит внутри (со), то со' лежит вне (со) и окружность (E) пробегает множество тех окружностей пучка с предельными точками P и со', которые не лежат внутри (со); точнее в этом случае [точка P лежит внутри (со)] будем иметь: если р cos 9 < 2d, то окружности (E') лежат внутри окружностей с центром со и радиусом соЯ = d и окружности (E) пробегают множество окружностей пучка, которые окружают со'; если р cos 8 = 2d, то (E') есть окружность с центром со, проходящая через Я; значит, (E) вырождается в радикальную ось пучка — медиатрису со'Я; если, наконец, р cos O > 2d, то окружность (E') пробегает кольцо, заключенное между (со) и окружностью с центром со и радиусом соЯ; окружности (E) пробегают тогда те окружности пучка с предельными точками Я и со, которые окружают P1 но лежат вне (со).
2°. Геометрическое место (H) центров (О), соответствующих данному углу б. Рассмотрим ряд случаев в зависимости от расположения точки Я относительно (со) и в зависимости от значений б,
a) P лежит на (to). Если 0=0, то геометрическое место точек Я есть прямая Ясо; если б = ~ — геометрическое место точек О есть касательная к (О)
TC
в точке Я; если О < 8 < ~^, то геометрическое место точек О есть две прямые,
проходящие через Я и образующие с «Я углы 8.
?) Точка P лежит вне (to). Если 8=0, то окружности (О) огибают саму окружность (со) и геометрическое место их центров есть гипербола с фокусом P
и направляющей окружностью (со); если 8 = ^ , то окружности (О) проходят через
точки Я и со'; геометрическое место их центров есть, следовательно, меднатриса
