Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
Во всем дальнейшем мы будем предполагать, что точка P не лежит на (D) (в вопросе 2° это даже необходимо). Предположим, что 0 < 6 < . Так как
EO OA
(D) — биссектриса угла А треугольника ОАО', то ^7- = ^7-J. Отсюда следует,
что Е — центр подобия окружностей (О) и (О'), а значит E может служить и центром инверсии, при котором окружность (О) перейдет в (О') и обратно. Точка А в этой инверсии неподвижная, точки же В и В' переходят друг в друга, значит ЁА2 = ЁВ- ЕЁ'.
2°. В инверсии (P1 PH2) прямая (D) переходит в окружность (С) с диаметром PH1 а множество окружностей (О), пересекающих (D) под углом 6, переходит в множество прямых (Ь), пересекающих (С) под углом .0; это множество прямых есть множество касательных к окружности (L') с центром С и радиусом d cos 0.
3°. Огибающая прямых (Ь) есть окружность (L'), значит огибающая окружностей (О) есть окружность (L)1 полученная из (L') инверсией (P1 PH2); определим положение центра L этой окружности. Пусть P' — точка, симметричная точке P относительно прямой (D). Точка P' есть образ точки С в инверсии (P1 РН2)У а потому P' есть основание поляры точки P относительно окружности (L). Пусть U и V—точки, в которых касательные, проведенные из P к (L'), пересекают прямую (D)1 a Lf' и V — точки пересечения этих касательных с прямой, проходящей через P' параллельно (D); окружность (L) — это окружность, касающаяся прямых PU' и PV в точках LF и V; ее центр лежит на пересечении прямой PH с перпендикуляром к PLF в точке LF. Легко находим: P'LF = PP' ctg 0 = 2d ctg 0,
PrUr = 4^COS 6 R _ 4d
H-LU - ginu s.n2(j и HL- coso -sin2o*
Далее, так как окружности (U) концентричны, С —их общий центр, и все они ортогональны медиатрисе (А) отрезка PH1 то окружности (L) ортогональны образу (Д) в инверсии (P1 PH2), т. е. к окружности с диаметром PP'. Эти окружности (L) принадлежат поэтому к одному пучку окружностей с радикальной осью (D) и предельными точками P и P'.
tc
Замечание. Если 6 изменяется от 0 до -g , окружность (U) пробегает
множество всех окружностей с центром С и лежащими внутри (С); граничными являются: окружность-точка С и сама окружность (С). Отсюда следует, что окружности (L) не охватывают всего указанного пучка, но лишь все те и только те окружности этого пучка, внутри которых лежит точка P'; граничными являются сама точка P' и прямая (D) — вырожденная окружность пучка.
4°. Заметим сначала, что если 0 = 0, то окружности (О) проходят через P и касаются (D); значит, геометрическое место точек О в этом случае есть парабола с фокусом P и директрисой (D). Если 8 = ~ , то окружности (О) ортогональны (D) и геометрическое место точек О есть сама прямая (D). Исключая эти два частных случая, будем считать, что О<0<^-. Окружности (О) проходят
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ 635
через P и касаются окружности (L) [которая в целом есть огибающая (O)J, поэтому геометрическое место точек О есть гипербола с фокусами PnL, для которой окружность (L) есть направляющая окружность, относящаяся к фокусу L. Эта гипербола имеет в качестве центра Г середину отрезка PL; ее главная окружность есть окружность с центром Г, проходящая через U и V, ее асимптоты — прямые TU и ГУ (так как они соединяют центр Г гиперболы с точками U и V прикосновения касательных, проведенных из фокуса P к главной окружности), эксцентриситет рр 1
равен е = = cos Q и» наконец, (D) — директриса, соответствующая фокусу Я.
Замечание. Можно и иначе: пусть А — одна из точек пересечения окружности (О) с (D) и К — проекция О на (D). Так как ? AOK = 0, то OK=AO cos 8 =
OP 1 = OPcose, откуда щ =
5°. Если 6 = 0, то все окружности (О) касаются (D) и геометрическое место
точек / есть прямая (D). Если 0 =-?r, то прямая (D) — диаметр всех окружностей
(О) и все эти окружности имеют для прямой (D) полюсом / — бесконечно удаленную точку в направлении, перпендикулярном (D). Исключая эти частные случаи,
tc
будем считать 0 < 8 < Пусть / — полюс (D) относительно (О), А — одна из точек пересечения (О) с (D) и К— проекция О на (D). Тогда KO-KI = — KA2 = -= — КО2 tg2 б, откуда == = — tg2 8. Из этого соотношения следует, что геометрическое место точек / из геометрического места точек О получается, если произвести сжатие к оси (D) с коэффициентом tg2 0 последующую симметрию в (D). Значит геометрическое место точек / есть гипербола (G)9 полученная из гиперболы (Г) в результате этого преобразования. Центр G гиперболы (G) есть образ центра Г гипер-
pj(j _ _ _
болы (Г) в этом преобразовании. Значит -=-= — tg2 0. Но HP -НГ= — Ни2 =
НГ
_ JfP
= — НГ2 tg2 0; значит, -= ===== — tg2 6 и точки PnG совпадают. Таким образом,
НГ
положение центра G гиперболы (G) не зависит от 0. Так как точки U и V в указанном преобразовании неподвижны, а Г переходят в Р, то асимптотами (G) будут PU и PV4 главной окружностью будет окружность с центром Р, проходящая через U и V [ибо при рассматриваемом сжатии длина TU действительной полуоси гиперболы (Г) перейдет в длину Ги - tg2 0 действительной полуоси гиперболы (G);
