Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
которой равен У4OH2 + За2. Этот радиус становится равным К'O1 если а = 20Н.
Мы видим, таким образом, что если а > 2OH1 окружность (К) охватывает точку О и огибающая сюрон ВС есть эллипс с фокусом О и направляющей окружностью (К). Если а < 2OH1 точка О лежит вне окружности (К) и огибающая сторон ВС — гипербола с фокусом O1 для которой (K') — направляющая окружность. Если, наконец, а = 20//, то О лежит на окружности (К) и огибающая вырождается: она состоит из точки О и точки, диаметрально противоположной точке О относительно окружности (К).
77. 1°. Геометрическое место точек А'. Точка Л' —середина гипотенузы LP треугольника /,соР; значит, А'ы = A'P = AfL и, следовательно, (черт. 222) А'I2 + Л'со2 = Л72 + A''P2 = 1P2 = г2. Точка Л' такова, что сумма квадратов расстояний от нее до фиксированных точек / и со равна постоянной величине г2. Значит, точка А' расположена на окружности (Г), центр которой есть середина отрезка /со и радиус р которой определяется из соотношения 4р2 + /со2 = 2г2. Обратно: если А' — любая точка окружности (Г), то /Л'2 + Л'со2 = /-2, откуда Л7 < г; значит, точка А' лежит внутри окружности (/). Поэтому существует
Черт. 222.
Черт. 223.
хорда LP1 для которой А' — середина. Тогда Л72 + A'P2 = г2 и, значит (см. также предыдущее соотношение), Л'со = Л'P1 откуда следует, что ^/,соР = 90°. Значит геометрическим местом точек А' является вся окружность (Г); точки / и со лежат внутри этой окружности (Г), так как на продолжении отрезка /со за его граничные точки имеются точки, удовлетворяющие соотношению Л72 4- Л'со2 = г2.
Геометрическое место проекций H точки а) на LP. Так как точка Q — середина /со, то ее проекция ІҐ на LP есть середина А'Н; значит, точка Й расположена на медиатрисе отрезка А'Н и, значит, HH = НА'. Отсюда следует, что точка H расположена на окружности (Г) — это вторая точка, в которой прямая LP пересекает окружность (Г). Так как луч со// параллелен лучу /Л', так как оба эти луча направлены в одну сторону и так как луч IA' принимает всевозможные направления вокруг точки /, то точка H описывает всю окружность (Г).
Геометрическое место точек А. Точка Л есть образ точки А' в инверсии (/, г2); значит, геометрическое место точек Л есть окружность (О), получгпная из (Г) инверсией (/, г2) (черт. 223).
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ 625.
Огибающая LP. Прямая LP несет на себе вторую сторону прямого угла, первая сторона которого проходит через фиксированную точку /, причем вершина А' прямого угла описывает окружность (F), внутри которой лежит точка /. Отсюда следует, что огибающей LP служит эллипс с фокусом / и направляющей окружностью (Г) (второй фокус со).
Замечание. Огибающей других сторон четырехуголь гика LMNP служит тот же эллипс (E), так как прямая LP при вращении двух взаимно-перпендикулярных прямых, проходящих через со, будет занимать последовательно положения всех сторон этого четырехугольника.
2°. Четырехугольник, образованный касательными к (/) в точках L9 M9 N9 Р. Так как точка А при вращении двух взаимно-перпендикулярных прямых вокруг со пройдет через положения В, C1 D, то все эти точки принадлежат геометрическому месту точек А, т. е. лежат на окружности (О); значит, четырехугольник ABCD вписанный.
3°. Полюс АС. Полярами точек А и С относительно (/) являются соответственно прямые LP и MN. Значит, полюсом F' прямой AC является точка пересечения LP и MN. Аналогично: точка E' пересечения LM и ЛТ5 есть полюс прямой BD относительно (/).
AC и BD проходит через о>. Из способа построения поляры точки по отношению к окружности с помощью одной линейки следует, что поляры точек E' и E' по отношению к окружности (I) будут со?' и со/7'. Но мы уже видели, что поляры точек E' и Ег суть AC и BD. Значит, со?' совпадает с АС, а со/7' — с BD. Таким образом, четыре точки А, С, со, Ег лежат на одной прямой так же, как и четыре точки: В, D, оз, F'.
Пучок, образуемый AC9 BD9 LN9 MP. Прямые LN, MP, сор' и со?' образуют гармоническую четверку; но со/7' и сор' совпадают соответственно с BD и АС.
4°. Рассмотрение точек E9 F9 ?', F'. Точки Е, F, Щ, F' суть соответственно полюсы относительно (/) прямых LN, MP, BD и АС, которые проходят через одну точку оз и образуют гармоническую четверку. Значит, эти точки расположены на одной прямой и также образуют гармоническую четверку, иначе точки Е, F, E' и F' суть точки, в которых прямая (А) пересекается с перпендикулярами, опущенными из / на LN, MP, BD и АС. Так как последняя четверка прямых гармоническая, то и перпендикуляры из / на эти прямые также образуют гармоническую четверку и, значит, точки Е, F, E', F' также образуют гармоническую четверку.
Отношение to к (О) и (/). Из способа построения поляры точки по отношению к окружности с помощью одной линейки следует, что точка со лежит на поляре точки E относительно окружности (О). Точка со принадлежит также поляре точки F относительно (О); значит, поляра точки со относительно (О) есть (А). Итак, (А) есть поляра точки со и относительно (/) и относительно (О). Таким образом, каждая из окружностей (/) и (О) делит гармонически отрезок со/(, где К — проекция о> на (А). Мы видим, что окружности (О) и (/) принадлежат одному пучку окружностей, для которого со — одна из предельных точек.
