Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
АН тс 2тс .
следовательно, -^- = 2 ] cos а |, а потому в случае, если а ф и а ф -^-, точка А
расположена на окружности, для каждой точки которой отношение расстояний до точек H и О -равно 2 j cos а | (черт. 220). Этот круг (Га) входит в пучок окружностей, имеющих О и H предельными точками, а так как при этом 2 I cos a J < 2, то окружность (Га) или лежит вне окружности (Г\), или охватывает окружность (P1). Значит все точки окружности (Га), за исключением точек пересечения этой окружности с окружностью (Г2), суть вершины треугольников (T).
Мы имеем далее: если 0 < а < ~, то (Га) охватывает точку О, геометрическое место вершин А
Черт. 220.
есть дуга окружности (Га), внешняя по отношению к окружности (T2) (ибо А — острый угол). 2тс
Если ~ < а < тс, то (Га) охватывает точку О, ибо в этом случае, как и в преды-AH
дущем, 1 < —< 2 и геометрическое место вершин А есть дуга окружности (Гй), внутренняя по отношению к (Г2) (А — тупой угол). Если < а < ~, (Ги) окру-
,n 3^^2
геометрическим местом точек А является дуга окружности (Га), внеш-
тс 2тс
няя по отношению к окружности (Г2). Если тг<а<~> то 0 <: 21 cos а I < 1,
жает H и
тс 2тс
2 <а<Х
поэтому окружность (Га) охватывает предельную точку H и геометрическим местом точек А является дуга окружности (Га), внутренняя для (Г2) (А — тупой угол).
Если а = ~, окружность (Га) вырождается в точку H1 если a=z^t то А лежит
на перпендикуляре к ОН, проведенном через его середину со; геометрическим местом вершин является часть этого перпендикуляра, внешняя по отношению к (Г2)
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОД&І 623
2тс
(^4 острый угол). Если а = —, то геометрическое место вершин А — часть указанного перпендикуляра, внутренняя по отношению к окружности (T2) (ибо А — тупой угол). Геометрическое место точек А' получается из геометрического места точек А
в результате преобразования гомотетии [g, — . Поэтому, если 0 < а < ~, то
геометрическое место точек Аг есть дуга окружности (Гд), не окружающей O9 а значит огибающая сторон ВС есть дуга гиперболы, имеющая О фокусом,
а (Га) — направляющей окружностью. Если ~ < а < у, то геометрическое место
точек А' есть дуга окружности (Га), окружающей О, огибающая стороны ВС — дуга
эллипса, имеющая О фокусом, а (Га) — направляющей окружностью. Аналогичные
тс 2тс
выводы можно сделать для следующих значении а: если < а < огибающая
2тс
стороны ВС есть дуга эллипса, а если -^- < а < т:, то огибающая — дуга гииер-
tc
болы. Если а = -g-, точка Л' совпадает с точкой О и огибающая стороны ВС сводится к точкам О и Я. Если а = или а = , то геометрическое место точек
Л — часть перпендикуляра, восставленного к отрезку ОН в его середине, а значит огибающая ВС — часть параболы с фокусом O1 для которой касательной в вершине является перпендикуляр, восставленный к отрезку Осо в его середине. Точки В и С получаются из точки А', если произвести гомотетию с центром О и
коэффициентом гомотетии а і j а затем произвести повороты на углы ± а, если
О < а < ~, и на углы ± (тс — а), если ~ < а < тс. Значит, эти геометрические места
суть дуги окружностей, если аф ~ H аф—-1 и части прямых, если а = ~ или 2тс
а = -у. Точки В' и С получаются соответственно из точек В и С в результате
гомотетии (о, —-~j. Следовательно, геометрические места этих точек суть дуги
(HK
тс 2т*
окружностей, когда а ф 9 а ф ~ t и
части прямых, когда а = ~ или а = , о о
Огибающие сторон и суть части линий второго порядка с фокусом O1 имеющих в качестве направляющей окружности геометрическое место точек В' и C9 если аф~ и аф~- 9 и части
парабол с фокусом О, имеющих касательными в вершинах прямые, на которых лежат геометрические места точек В' и C9
к 2тс ^
если а = -д- или а = -g-. Это линии
того же рода, что и огибающие стороны ВС.
Изучение треугольника (T)9 для которого дана длина а стороны ВС (черт. 221). Для того чтобы в треугольнике (T) длина стороны ВС равнялась а>
необходимо и достаточно, чтобы OA2 —О A'2 =4^» или — АН2 = а2. Пусть
^ »
К—точка отрезка ОН такая, что /(Я =4/(0. Прилагая теорему Стюарта к тре-
_ 4 _
угольнику OAH и к секущей AKy будем иметь AK2 • ОН—АО2 • ОН-{-АН2 X 1 _ _ 4 _ 1 _ АЛО*_ АИ2 А
X ОН— ОН . ОЯ • ~ ОН = О, или Л/<2 - - J ОН2 = 0, откуда
Черт. 221.
624 Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
За2 ! 40Я2
AK2 =-1Q-. Отсюда следует, что точка А лежит на окружности с центром
в точке К и радиусом —- У ЮН2 + За2. Точка К является центром окружности (P1),
2
радиус окружности (К) с центром в точке К и радиусе м AK больше радиуса ОН
окружности (Гі). Значит, окружность (К) охватывает окружность (Гх). Геометрическое место вершин А — это о сружность (К), за исключением точек пересечения этой окружности с окружностью (T2). Геометрическое место точек А' есть поэтому окружность (К), центр которой совпадает с центром окружности (Г2) и радиус
